J2pij1Lmax

Условие задачи

В нотации Грэхема задача носит название

Дано [math]n[/math] работ [math]i = 1,\ldots,n[/math] и две машины, обозначенные как [math]A[/math] и [math]B[/math].

[math]i[/math]-тая работа состоит из [math]n_i[/math] операций [math]O_{ij}[/math] [math](j = 1,\ldots n_i)[/math], которые должны быть выполнены последовательно и, при этом, если [math]O_{ij} [/math] операция была совершена на машине [math]A (B)[/math], то операция [math]O_{i,j-1}[/math] должна быть совершена на машине [math]B (A)[/math].

Задача заключается в том, что для данного каждой [math]i[/math]-той работе дедлайна [math]d_i \ge 0[/math] необходимо найти достижимое расписание с наименьшими максимальным временем опоздания:

Описание решения

Судя по условию, [math]i[/math]-тая работа может характеризоваться двумя значениями: количество операций [math]n_i[/math] и машиной, на которой была совершена первая операция. Пусть [math]r = \sum_{i=1}^n N_i[/math] — общее количество операций.

Допустим, самым ранним моментом, когда операция может начать выполняться, будет момент времени 0, а верхнюю границу момента начала выполнения последней операции обозначим за [math]t_{max}[/math]. К примеру, мы можем выбрать [math]t_{max} = r[/math]. Тогда расписание можно представить как два списка [math]A(t)[/math] и , где [math]A(t) = O_{ij}[/math], если операция [math]O_{ij}[/math] должна выполниться на машине [math]A[/math] в момент времени [math]t[/math] и [math]A(t) =[/math] [math] \varnothing[/math], если машина [math]A[/math] простаивает в этот момент. И для каждой операции [math]O_{ij}[/math], выполняющейся на машине [math]A[/math] существует [math]t[/math], для которого [math]A(t) = O_{ij}[/math]. Аналогично для [math]B_i[/math]. Расписание достижимо тогда и только тогда, когда из следует [math]O_{i,j-1} = B(s) (A(s))[/math] для некоторого [math]s \lt t[/math], и первая операция для каждой работы запланирована на нужной машине. Перестановку всех операций будем называть списком. Для данного списка [math]L[/math] осуществимое расписание может быть создано следующим способом: планируем выполнять операции в порядке, соответствующим [math]L[/math], причем каждую операцию стараемся выполнить как можно раньше. Подобное расписание будем называть соответствующим [math]L[/math] расписанием. [math]C_i[/math] — время окончания работы [math]i[/math] в достижимом расписании [math]y = (A(t), B(t))[/math] можно рассчитать как:

[math]C_i = \max\{t + 1 | A(t)\}[/math] или [math]B(t)[/math] — операция [math]i[/math]-той работы}

Задача заключается в том, что для данного каждой работе [math]i[/math] дедлайна [math]d_i \geqslant 0[/math] мы хотим найти достижимое расписание с наименьшими максимальным временем опоздания:

Следующий алгоритм решает эту задачу:

Введём для каждой операции [math]O_{ij}[/math] величину [math]l(O_{ij}) = d_i - n_i + j[/math]
Создадим список всех операций [math]L[/math], упорядоченный в порядке неубывания значений [math]l(O_{ij})[/math]
Найдем соответствующее списку [math]L[/math] расписание.

Этот алгоритм может быть реализованным с асимптотикой [math]O(r \log r)[/math].

Мы предполагаем, что [math]d_i \geqslant 0[/math] для [math]i = 1,\ldots,n[/math] и хотя бы для одной работы [math]i[/math] [math]d_i = 0[/math]. Иначе, вычтем из всех [math]d_i[/math] минимальное значение по [math]d_i[/math].

Так как [math]C_i \geqslant 1[/math] для всех [math]i = 1,\ldots,n[/math] и [math]d_i = 0[/math] справедливо как минимум для одной работы [math]i[/math]. К тому же, можно предположить, что [math]C_i \leqslant r[/math]. Таким образом, работы с [math]d_i \gt r - 1[/math], то есть c [math]L_i = C_i - d_i \lt 1[/math], можно смело игнорировать. Они не влияют на значение улучшаемой функции [math]\max(L_i)[/math], так как для некого [math]i[/math] [math]L_i \geqslant 1[/math] можно выполнять эти работы в любом порядке после всех остальных. Для оставшихся операций [math]O_{ij}[/math] мы имеем:

Каждую операцию мы кладём в соответствующий список (на самом деле это должен быть heap для хорошей асимптотики) [math]L(k)[/math], где . На втором шаге мы планируем операции соответственно возрастающему по номеру списка [math]k[/math] порядку, где операции из одного списка могут выполнятся в произвольном порядке.

Алгоритм

Давайте детально рассмотрим алгоритм. [math]T1[/math] и [math]T2[/math] обозначают первый период времени [math]t \ge 0[/math], когда соответствующие машины [math]A[/math] и [math]B[/math] бездействуют. [math]LAST(i)[/math] обозначает время окончания последней запланированной операции [math]i[/math]-той работы. [math]Z[/math] — множество работ, где [math]d_i \ge r[/math]

main()
  for k: -r + 1 to r - 1
    [math]L(k)[/math] = [math]\emptyset[/math];
    Z = [math]\emptyset[/math];
  for i: 1 to n
    if [math]d_i[/math] < r
      for j: 1 to n_i
        добавить [math]O_{ij}[/math] в [math]L(d_i - n_i + j)[/math]
    else
      добавить работу i в Z
  for i: 1 to n
    LAST(i) = 0;
  T1 = 0;
  T2 = 0;
  for k: -r + 1 to r - 1
    while [math]L(k) \ne \emptyset[/math]
      Выбрать задание [math]O_{ij}[/math] из [math]L(k)[/math]
      [math]L(k)[/math] = [math]L(k)\setminus\{O_{ij}\}[/math];
      schedule([math]O_{ij}[/math]) 
  while [math]z \ne \emptyset[/math]
    Выбрать работу i из Z
    Z = [math]Z \setminus\{i\}[/math];
    for j: 1 to [math]n_i[/math]
      schedule([math]O_{ij}[/math])

schedule([math]O_{ij}[/math])
  if [math]\mu_{ij}[/math] == A
    if T1 < LAST(i) 
      t = LAST(i)
      A(t) = [math]O_{ij}[/math] (*)
    else
      t = T1;
      A(t) = [math]O_{ij}[/math];
      while [math]A(T_1)[/math] [math]\ne \emptyset[/math]
        T1 = T1 + 1;
  else
    if T2 < LAST(i)
      t = LAST(i)
      B(t) = [math]O_{ij}[/math] (**)
    else
      t = T2;
      A(t) = [math]O_{ij}[/math];
      while [math]B(T_2) \ne \emptyset[/math]
        T2 = T2 + 1;
  LAST(i) = t + 1

Очевидно, что количество шагов алгоритма ограничено [math]O(r)[/math]

Доказательство

Для доказательства того, что алгоритм решения задачи корректен, необходимо показать то, что он строит достижимое расписание. Это справедливо тогда и только тогда, когда до исполнения строчек (*) и (**) пусты A(t) и B(t) соответственно. Иначе две разные операции будут выполняться в один момент времени на одной машине. Для того, чтобы показать достижимость докажем лемму.

Лемма:

Пусть — расписание, где . Тогда для каждого , где выполняется

Доказательство:

Докажем по индукции по [math]s[/math], что если [math]B(s) = O_{ij}[/math] и [math]s \gt t[/math], то [math]A(s -1) = O_{i, j - 1}[/math]. Это, очевидно, верно при [math]s = t+1[/math] так как если [math]B(t+1) = O_{ij}[/math] и [math]A(t)[/math] не соответствует работе [math]i[/math], то [math]B(t) = \emptyset[/math] означает что операция [math]O_{ij}[/math] должна быть запланирована в расписании ранее.

Предположим теперь что лемма верна для всех при и . Выберем максимальное , такое что и . По предположению индукции, и соответствуют одной и той же работе для . Пусть ) не соответствует работе . Тогда для каждого операция не соответствует работе . Таким образом, может быть обработан в момент , что противоречит тому, что является расписанием.

Теорема:

Пусть — операция, которую планируют строчкой (*) или (**) и . Тогда

Доказательство:

Предположим что . Поскольку , из предыдущей леммы следует, что и и являются операциями одной и той же задачи . Так как , у нас должно быть значение . Это невозможно, т.к. при и , .

Лемма:

Если существует расписание без опозданий, то данный алгоритм построит расписание без опозданий.

Доказательство:

Эта статья находится в разработке!

Теорема:

Расписание, построенное данным алгоритмом, оптимально.

Доказательство:

Эта статья находится в разработке!

См. также.

Классификация задач

Источники информации

Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» — «Springer», 2006 г. — 180 стр. — ISBN 978-3-540-69515-8

J2pij1Lmax

Условие задачи

Описание решения

Алгоритм

Доказательство

См. также.

Источники информации

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты