1ridipi1

Постановка задачи

Дан один станок на котором нужно выполнить [math]n[/math] работ. Для каждой работы известны моменты времени, когда можно начинать её выполнять — [math]r_{i}[/math] и когда необходимо закончить её выполнение — [math]d_{i}[/math]. Время выполнения [math]p_{i}[/math] у всех работ одинаково и равно 1. Необходимо узнать, можно ли построить расписание, при котором все работы будут выполнены.

Алгоритм

Идея алгоритма в том, чтобы из тех работ, которые уже можно выполнить, ставить в расписание ту, у которой наименьшее [math]d_{i}[/math]. Если эта работа уже просрочена, значит хорошее расписание построить нельзя.

Пусть [math]S[/math] - множество ещё не включенных в расписание работ, к выполнению которых уже можно приступить. Изначально [math]S[/math] пустое. Отсортируем работы по порядку их появления.

Алгоритм [math]1 | r_{i}, d_{i}, p_{i}=1 | -[/math]

    [math]S:=\varnothing;[/math]
    [math]j\leftarrow1;[/math]
    [math]time\leftarrow1;[/math]
    [math]FOR[/math]  [math]i := 1[/math] [math]TO[/math] [math]n[/math] [math]DO[/math]
         [math]BEGIN[/math]
         [math]IF[/math] [math]S=\varnothing[/math] [math]THEN[/math]
              [math]BEGIN[/math] [math]time:=r_{j}[/math] [math]END[/math]
         [math]WHILE[/math] [math]time=r_{j}[/math] [math]DO[/math]
              [math]BEGIN[/math]
              Добавить [math]j[/math] в [math]S[/math]
              [math]j:=j+1;[/math]
              [math]END[/math]
         Пусть [math]k\in S[/math] и [math]d_{k}[/math] минимально
         [math]IF[/math] [math]d_{k}\le time[/math] [math]THEN[/math]
              Расписание составить невозможно
         [math]ELSE[/math]
              [math]BEGIN[/math]
              Удалить [math]k[/math] из [math]S[/math]
              [math]time:=time+1;[/math]
              [math]END[/math]
         [math]END[/math]

Сложность алгоритма [math]O(n\log n)[/math] если в качестве [math]S[/math] использовать структуру, которая позволяет поиск элемента с минимальным [math]d_{i}[/math] за [math]O(\log n)[/math].

Доказательство корректности алгоритма

Пусть с помощью нашего алгоритма составить хорошее расписание не удалось. Докажем, что в этом случае хорошего расписания не существует. Заметим, что расписание состоит из непрерывных блоков, между которыми есть пропуски - все поступившие работы выполнены, а новых работ ещё не появилось. Расписание может состоять из одного блока.

Рассмотрим первый блок, для которого не получилось составить расписание. Возьмем в нём первую работу, для которой не нашлось места. Пусть её индекс будет [math]k[/math]. Попробуем вставить эту работу в расписание. До блока её вставить нельзя, так как [math]r_{i}[/math] больше или равно времени начала блока. А в блоке нет пропусков, поэтому нужно поменять её с какой-то [math]i[/math]-ой, которая уже стоит в этом блоке расписания. У всех таких работ [math]d_{i}[/math] меньше или равно [math]d_{k}[/math], так как в алгоритме мы каждый раз брали работу с минимальным [math]d_{i}[/math]. Но [math]i[/math]-ую работу нельзя выполнить после [math]k[/math]-ой. Значит [math]k[/math]-ую работу выполнить нельзя.

Источники информации

• P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 200