PSumCi

[math]P \mid \mid \sum C_{i}[/math]

Задача:

Дано [math]n[/math] работ с заданными временами выполнения [math]p_{i}[/math] и [math]m[/math] параллельных станков с одинаковой скоростью выполнения работ. Цель — составить такое расписание, чтобы суммарное время окончания всех работ было минимальным.

Описание алгоритма

Идея

Пусть [math]p_{i}[/math] заданы в порядке невозрастания ([math]p_{0} \geqslant p_{1} \geqslant \ldots \geqslant p_{n-1} [/math]). Пусть теперь [math]b_{i} = \left\lceil\dfrac{i}{m}\right\rceil[/math]. Тогда в оптимальном расписании работа с номером [math]i[/math] будет выполнена на станке с номером [math]i \bmod m[/math], [math]b_{i}[/math]-ой с конца.

Псевдокод

Итоговым расписанием будет массив [math]schedule[/math] где в [math]schedule[i][j][/math] храниться номер работы которую надо исполнить на станке номер [math]i[/math], [math]j[/math]-ой по счёту.

function getSchedule(jobs : int[n]): // jobs - массив номеров работ отсортированных в порядке невозрастания p[i].
  list<int> schedule[m]  // Заведём список работ для каждого станка. Ответ будет храниться в нём.

  for i = 0 to n
    schedule[i mod m].push(jobs[i]) // Cтавим i-ую в порядке уменьшения p[i] работу на станок i mod m в конец.

  // Заметим что расписание для каждого станка получилось перевёрнутым.
  // Поэтому развернём расписание для каждого станка.
  for i = 0 to m
    schedule[i].reverse()

  return schedule

Ассимптотика

Так как нам понадобится сортировка для массива [math]p_{i}[/math], то итоговая ассимптотика будет [math]\mathcal{O}(n\log{n})[/math].

Доказательство корректности

Докажем две леммы:

Лемма:

В оптимальном расписании на каждом станке работы выполняются в порядке неубывания времён выполнения.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть это не так. Заметим что [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i} = \sum\limits_{i=0}^{n-1} p_{i} \cdot b_{i}[/math]. Следовательно каждая работа даёт вклад равный [math]p_{i} \cdot b_{i}[/math]. Тогда поменяем местами две работы которые нарушают порядок невозрастания. Заметим что [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}[/math] уменьшилась. Следовательно — оптимальное расписание не оптимально. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

В оптимальном расписании количество выполненных работ на любых двух станках отличается не более чем на [math]1[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть это не так. Как было отмечено в предыдущей лемме, каждая работа даёт вклад в [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}[/math] равный [math]p_{i} \cdot b_{i}[/math]. Найдём два станка количество работ на которых отличается больше чем на [math]1[/math]. Пусть это станки [math]x[/math] и [math]y[/math]. Причём на стнаке [math]x[/math] выполняется больше работ. Тогда если отправить первую с начала работу со станка [math]x[/math] на станок [math]y[/math] то [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}[/math] уменьшится на разность количества работ на станках [math]x[/math] и [math]y[/math]. Следовательно — оптимальное расписание не оптимально. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Алгоритм [math]P \mid \mid \sum C_{i}[/math] строит оптимальное расписание.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть это не так и оптимальное расписание отличается от расписания построенного алгоритмом. Заметим что расписание построенное алгоритмом удовлетворяет обеим леммам. Тогда можно воспользоваться одной из них чтобы улучшить оптимальное раписание. Следовательно — оптимальное расписание не оптимально. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 22