Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева

Теорема (критерий минимальности остовного дерева Тарьяна):

Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда любое ребро не из дерева является максимальным на цмкле, который образуется при его добавлении в дерево

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Легко заметить, что остовное дерево, не удовлетворяющее условию, не минимально: Если существует ребро, не максимальное на образовавшемся цикле мы можем уменьшить вес дерева, добавив это ребро и удалив максимальное. Теперь докажем, что дерево, удовлетворяющее условию минимально: Обозначим дерево [math]T[/math], покажем что его можно построить алгоритмом Крускала. Индукция по количеству ребер в дереве: База: пустое дерево. Строим дерево [math]T'[/math] по лемме о безопасном ребре. Переход: Рассмотрим минимальное невзятое ребро [math]uv \in T[/math] Рассмотрим разрез, окружающий одну из двух компонент Пусть [math]uv[/math] не минимально в разрезе, тогда существует [math]ab \notin T[/math] такое, что [math]w(ab) \lt w(uv)[/math]. При добавлении [math]ab[/math] в дерево [math]T[/math] Некое ребро [math]xy[/math], такое что [math]w(xy) \ge w(uv) \lt w(ab)[/math] будет лежать на цикле. Противоречие условию теоремы. Если [math]uv[/math] минимально - добавим его в [math]T'[/math]. По окончании (просмотрели все ребра [math]T[/math]) [math]T[/math] совпадет с [math]T'[/math]

[math]\triangleleft[/math]