Независимые события

Основные определения

Определение:

Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются независимыми (англ. independent), если [math] p(A \cap B) = p(A)p(B) [/math]

Определение:

Два события [math]A[/math] и [math]B[/math] называются несовместными (англ. mutually exclusive), если [math] A \cap B = \emptyset [/math]

Определение:

События называются независимыми в совокупности (англ. mutually independent), если для [math]\forall I\subset \{1, ..., k\}[/math] [math]p(\bigcap\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})[/math]

Определение:

События [math]A_{1}, ...,A_{n}[/math] называются попарно независимыми (англ. pairwise independent), если для [math]\forall i \neq j[/math] [math]\Rightarrow A_{i}[/math] и [math]A_{j}[/math] — независимы.

Утверждение:

Несовместные события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми, тогда и только тогда если хотя бы одно из них является пустым множеством.

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow [/math]: Если несовместные события являются независимыми, то выполняется [math] p(A \cap B) = p(A)\cdot p(B) [/math]. Также для несовместных событий выполняется [math] A \cap B = \emptyset [/math]. Следовательно [math] p(\emptyset) = p(A) \cdot p(B) [/math]. А это выполняется тогда и только тогда когда [math] p(A) = 0 [/math] или [math] p(B) = 0 [/math]. [math] \Leftarrow [/math]: Допустим [math]A[/math] является пустым множеством, тогда [math] A \cap B = \emptyset[/math]. Значит [math] p(A \cap B) = 0 [/math] и [math] p(A) \cdot p(B) = 0[/math]. Следовательно события [math]A[/math] и [math]B[/math] являются независимыми.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Игральная кость

[math] A = \{2,4,6\}\ p(A)=\dfrac{1}{2} [/math] — вероятность выпадения чётной цифры

[math] B=\{1,2,3\}\ p(B)=\dfrac{1}{2} [/math] — вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

[math] A \cap B = \{2\} \neq \emptyset [/math], значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\{2\})=\dfrac{1}{6}[/math]

[math]p(A)p(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B) \neq p(A)p(B)[/math], значит эти события не независимы.

Карты

[math] A = \{(1,j)\}\ p(A)=\dfrac{1}{4} [/math] — вероятность выпадения карты заданной масти

[math] B=\{(i,1)\}\ p(B)=\dfrac{1}{13} [/math] — вероятность выпадения карты заданного достоинства

[math] A \cap B = \{(1,1)\} \neq \emptyset [/math], значит эти события не несовместны.

[math] p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\dfrac{1}{52}[/math] — вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства

[math]p(A)p(B)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{13}=\dfrac{1}{52}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B)=p(A)p(B)[/math], значит эти события независимы.

Честная монета

[math] A = \{0\}\ [/math] — выпадение орла

[math] B=\{1\}\ [/math] — выпадение решки

[math] A \cap B = \emptyset [/math], значит эти события несовместны.

Тетраэдр Бернштейна

Попарно независимые события и события, независимые в совокупности — это не одно и то же.

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.

[math] A [/math] — выпадение грани, содержащей красный цвет

[math] B [/math] — выпадение грани, содержащей синий цвет

[math] C [/math] — выпадение грани, содержащей зеленый цвет

Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:

[math]p(A)=p(B)=p(C)=\dfrac{1}{2}[/math]

Так как одна грань содержит все три цвета, а остальные — по одному, то вероятность пересечения любых двух событий равна: [math]p(A \cap B)=p(A \cap C)=p(B \cap C)=\dfrac {1}{4} [/math]

[math]p(A)p(B)=p(A)p(C)=p(B)p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}[/math]

Все события попарно независимы, так как:

[math]p(A \cap B)=p(A)p(B)[/math]

[math]p(A \cap C)=p(A)p(C)[/math]

[math]p(B \cap C)=p(B)p(C)[/math]

Вероятность пересечения всех трёх равна: [math]p(A \cap B \cap C)=\dfrac{1}{4}[/math]

[math]p(A)p(B)p(C)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}[/math]

Cобытия не являются независимыми в совокупности, так как: [math]p(A \cap B \cap C) \neq p(A)p(B)p(C)[/math]

Получили, что события являются попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности, значит, эти два понятия — не одно и то же, что мы и хотели показать.

Источники информации

• НГУ — Независимость

• Википедия — Независимость (теория вероятностей)

• Романовский И. В. Дискретный анализ