Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева

Критерий Тарьяна

Теорема (критерий Тарьяна минимальности остовного дерева):

Остовное дерево минимально тогда и только тогда, когда для любого ребра, не принадлежащего остову, цикл, образуемый этим ребром при добавлении к остову, не содержит рёбер тяжелее этого ребра.

Доказательство:

Рассмотрим общий алгоритм построения минимального остовного дерева [math] A [/math], но сначала, ознакомившись с определением безопасного ребра.

function Generic MST([math] G [/math]): 
   [math] A = \{ \} [/math]
   while [math] A [/math] не является остовом
      do найти безопасное ребро [math] ( u, v ) \in E [/math] для [math] A [/math]
         [math] A = A \cup \{( u, v )\} [/math] 
return [math] A [/math]

В результате алгоритма получится минимальное остовное дерево [math] A [/math], состоящее полностью из безопасных ребер, так как на каждом шаге добавлялось безопасное ребро.

Легко заметить, что остовное дерево, не удовлетворяющее условию, не минимально. Если для какого-то ребра оказалось, что оно легче некоторых рёбер образуемого цикла, то можно получить остов с меньшим весом, добавив это ребро в остов, и удалив самое тяжелое ребро из цикла. Если же это условие не выполнилось ни для одного ребра, то вес остова при добавлении не изменится.

Уникальность остовного дерева

Задача:

Поиск минимального остовного дерева и проверка его на уникальность.

Алгоритм решения

Построим минимальное остовное дерево используя алгоритм Краскала. Рассмотрим рёбра вне остова в любом порядке. Очередное обозначим [math]e = (u, v)[/math]. Рассмотрим максимальное ребро на пути [math]u[/math] и [math]v[/math] внутри остова:

Если его вес совпадает с весом ребра, то при добавлении ребра в остов, мы получим остов с циклом на котором несколько рёбер имеют одинаковый вес, значит мы можем удалить любое из них и остовное дерево будет всё ещё минимальным, это нарушает уникальность дерева. На этом алгоритм завершается и по критерию Тарьяна мы можем сказать, что в графе можно построить несколько остовных деревьев.
Если его вес больше ребра, то заменив ребро мы получим остов с большим весом, этот случай не влияет на уникальность.
Его вес не может быть меньше ребра из остова, иначе мы смогли бы построить минимальное остовное дерево с меньшим весом.

После рассмотрения всех рёбер, если мы не нашли ребро вне остова, при добавлении которого создаётся цикл с максимальным ребром таким же как и на пути [math]u[/math] и [math]v[/math], то в графе нету другого остовного дерева и наше дерево уникально. Искать максимальное ребро на пути [math]u[/math] и [math]v[/math] в дереве мы можем при помощи heavy-light декомпозиции.

Асимптотика

Построение минимального остовного дерева работает за [math]O(N \log N)[/math], нахождение максимального ребра за [math]O(\log N)[/math], максимальное количество рёбер вне остова не больше [math]N[/math], каждое ребро проверяется за [math]O(\log N)[/math]. Построение heavy-light декомпозиции работает за [math]O(N)[/math], остов мы построим один раз, heavy-light декомпозицию тоже один раз, каждое ребро мы не больше одного раза проверим на замену, сложность алгоритма [math]O(N \log N)[/math].

См.также

Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре

Литература

Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. — Алгоритмы. Построение и анализ.

Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева