|
Пусть [math]G' = G \setminus F[/math], где [math]F \subset E(G)[/math], тогда [math]|F| \leqslant k - 1[/math]
Предположим, что в [math]G'[/math] нет совершенного паросочетания, тогда выберем множество Татта [math]S \subset V(G')[/math], тогда [math]odd(G' \subset S) \gt |S|[/math]
Так как [math]|V(G)|[/math] чётно, то и [math]odd(G' \setminus S) + |S|[/math] тоже чётно. Из этого следует, что [math]odd(G' \setminus S) \equiv |S| \pmod 2 [/math]. Из этого факта и того, что [math]odd(G' \setminus S) \gt |S|[/math] следует, что [math]odd(G' \setminus S) \geqslant |S| + 2 ~~~ \textbf{(1)}[/math]
Пусть [math]U_1, \cdot, U_n[/math] — нечётные компоненты связности [math]G' \setminus S[/math], тогда [math]|odd(G' \setminus S)| = n[/math], а [math]U_{n+1}, \cdot, U_t[/math] — его чётные компоненты связности. Для каждого [math]i \in [1 \cdots t][/math] определим три величины:
[math]\alpha_i[/math] — количество рёбер из [math]E(G')[/math], соединяющих [math]U_i[/math] с [math]S[/math],
[math]\beta_i[/math] — количество рёбер из [math]F[/math], соединяющих [math]U_i[/math] с [math]S[/math],
[math]\gamma_i[/math] — количество рёбер из [math]E(G')[/math], соединяющих [math]U_i[/math] с остальными компонентами связности графа [math]G' \setminus S[/math], тогда
[math]m_i := \alpha_i + \beta_i + \gamma_i[/math]. Тогда [math]m_i[/math] — это количество рёбер графа [math]G[/math], соединяющих [math]U_i[/math] с [math]V(G) \setminus U_i[/math].
По лемме о сравнимости по модулю 2 для нечётных компонент связности [math]G' \setminus S[/math] (то есть [math]i \in [1 \cdots n][/math]) [math]m_i \equiv k \pmod 2[/math].
[math]m_i \geqslant \lambda(G) \geqslant k - 1[/math]. Из этого факта и того, что [math]m_i \equiv k \pmod 2[/math] следует, что [math]m_i \geqslant k[/math]. Отсюда получаем неравенство:
[math]\sum\limits_1^n \alpha_i + \sum\limits_1^n \beta_i + \sum\limits_1^n \gamma_i \geqslant kn ~~~ \textbf{(2)}[/math]
Отметим два неравенства:
[math]\sum\limits_1^t \alpha_i + \sum\limits_1^t \beta_i \leqslant k|S|[/math]
[math]2 \sum\limits_1^t \beta_i + \sum\limits_1^t \gamma_i \leqslant 2|F| \leqslant 2k - 2[/math]
Сложив которые, получаем
[math]\sum\limits_1^t \alpha_i + 3\sum\limits_1^t \beta_i + \sum\limits_1^n \gamma_i \leqslant k(|S| + 2) - 2 ~~~ \textbf{(3)}[/math]
Из неравенств [math]\textbf{(2)}[/math] и [math]\textbf{(3)}[/math] получаем, что [math]kn \leqslant k(|S| + 2) - 2[/math], и, следовательно, [math]odd(G' \setminus S) = n \lt |S| + 2[/math], что противоречит [math]\textbf{(1)}[/math]. Таким образом, множество Татта найти нельзя, значит, в [math]G'[/math] существует совершенное паросочетание.
Заметим, что Теорема Петерсона является следствием из этой теоремы, так как в графах Петерсена [math]k = 3[/math], [math]\lambda(G) \leqslant 2 = k - 1[/math], [math]|V| чётно[/math] и [math]|F| = 0 \leqslant k - 1[/math] | 