Графы де Брюина

Основные определения

Определение:

Графом де Брюина (англ. De Bruijn graph) с параметром [math]l[/math] для [math]n[/math]-буквенного алфавита называется ориентированный граф [math]G(V, E)[/math], где [math] V - [/math] множество всех слов длины [math]l[/math] в заданном алфавите, и [math]e = (u, v) \in E \Leftrightarrow \exists [/math] слово [math]L[/math] длины [math]l+1[/math] в заданном алфавите такое, что [math] u = prefix(L) \wedge v = suffix(L) [/math]

Основные свойства

• [math] |V| = n^l [/math]. Очевидно из определения [math] V [/math].
• [math] l = 1 \Leftrightarrow G - [/math] полный граф.

Действительно, для любых (необязательно различных) вершин [math] u, v \ \exists L = \alpha \beta [/math], где [math] \alpha, \beta - [/math] слова (символы), соответствующие вершинам [math] u, v [/math]. И тогда очевидно, что существует ребро [math] e = (u, v)\ \forall u, v \in V [/math].

• [math] \forall v \in V [/math] верно, что [math] deg_{out}(v) = n = deg_{in}(v)[/math].

Докажем первое равенство, второе аналогично. Существует ровно [math] n [/math] символов алфавита, которые можно добавить в конец слова [math] \alpha[/math], соответствующему вершине [math] v [/math]. Получим ровно [math] n [/math] различных слов. И у всех этих слов различные суффиксы длины [math] l [/math]. Таким образом, из вершины [math] v [/math] выходит ровно [math] n [/math] рёбер.

• [math] G - [/math] эйлеров.

Это следует из предыдущего свойства, так как [math] deg(v) = 0 [/math].

• [math] e = (u, v) \in E \Leftrightarrow [/math] [math] prefix_{l-1}(v) = suffix_{l-1}(u) [/math].

[math] \Leftarrow [/math] Составим слово [math] L = a \gamma b [/math], где [math] \gamma - [/math] общая часть слов, соответствующих вершинам [math] u, v [/math]. А символы [math] a, b \ - [/math] первый и последний символ этих слов соответственно. Из определения графа де Брюина следует, что ребро существует.

[math] \Rightarrow [/math] Возьмём подстроку слова [math] L [/math] (из определения) без крайних символов (её длина [math] l - 1 [/math]). Так же из определения следует, что это будет суффиксом строки, соответствующей вершине [math] u [/math], и префиксом для строки, соответствующей [math] v [/math].

Алгоритм построения

Задача:

Дан алфавит длины [math] n [/math] и длина слов [math] l [/math]. Построить по ним граф де Брюина.

Алгоритм:

1. Создаём пустой граф из [math] n^l [/math] вершин.

2. Генерируем слово длины [math] l+1 [/math].

3. Считаем префикс [math] pref [/math] и суффикс [math] suff [/math] длины [math] l [/math] для текущего. Причём установим в алфавите отношение порядка и будем рассматривать его символы как цифры в [math] n [/math]-значной системе счисления.

4. Проводим ребро [math] (pref, suff) [/math] в графе. Переходим к п.2 (например, будем перебирать в порядке лексикографического возрастания), пока не будут перебраны все слова длины [math] l+1 [/math].

Корректность: перебраны все слова длины [math] l+1 [/math], следовательно, были рассмотрены все возможные пары вершин, между которыми проведено ребро.

Время работы: [math] O(n^{l+1} \cdot substring) = O(|E| \cdot l) [/math]

Использование графов де Брюина

Задача:

Известно, что пароль имеет длину [math] l [/math], и состоит из цифр от 1 до [math] n [/math]. Требуется вывести кратчайшую последовательность цифр, которая гарантированно содержит пароль как подстроку.

Решение:

1. Составим граф де Брюина [math] (n, l-1) [/math].

2. Найдём в построенном графе эйлеров цикл. Он существует, так как граф де Брюина эйлеров (см. свойства)

3. Слово, соответствующее первой вершине цикла, возьмём полностью ([math] l - 1 [/math] символов), затем будем последовательно добавлять в конец строки последний символ слова вершины, в которую был осуществлён переход. Так как рёбер [math] n^l [/math], получим последовательность длиной [math] n^l + l - 1 [/math].

Корректность:

1. Очевидно, что последовательность меньшей длины составить нельзя: в полученной последовательности ровно [math] n^l [/math] подстрок длины [math] l [/math], и именно столько чисел можно составить из цифр от 1 до [math] n [/math].

2. Двум разным рёбрам [math] e_1 = (u_1, v_1), e_2 = (u_2, v_2) [/math] соответствует два различных слова [math] L [/math] длины [math] l [/math]. Иначе [math] u_{1} = prefix(L) = u_{2} \wedge v_{1} = suffix(L) = v_{2} [/math]. То есть это одно и то же ребро, при этом кратных рёбер в графе нет.

3. Отсюда следует, что в последовательности содержится [math] n^l [/math] различных подстрок длины [math] l [/math]. И короче последовательность получить нельзя. Значит, мы получили ответ за [math] O((|E| \cdot (l-1)) + (|E| + |V|)) = O(|E| \cdot (l-1)) [/math], то есть за время построения графа де Брюина [math] (n, l-1) [/math].