Задача о динамической связности

Задача:

Есть неориентированный граф из [math]n[/math] вершин, изначально не содержащий рёбер. Требуется обработать [math]m[/math] запросов трёх типов: [math]\mathrm{add(u,v)}[/math] — добавить ребро между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math]; [math]\mathrm{remove(u,v)}[/math] — удалить ребро между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math]; [math]\mathrm{connected(u,v)}[/math] — проверить, лежат ли вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] в одной компоненте связности.

В этой статье будет приведено решение задачи online, то есть отвечать на get-запрос (проверять наличие пути между вершинами) мы будем сразу.

Динамическая связность в лесах

Если задача такова, что в графе нет и не может быть циклов, то она сводится к задаче о связности в деревьях эйлерова обхода. Время работы каждого запроса для упрощённой задачи — [math]O(\log n)[/math].

Обобщение задачи для произвольных графов

Существуют задачи, в которых граф не обязательно на протяжении нашей работы после каждой операции добавления ребра остаётся лесом. Но мы можем в каждой компоненте связности выделить остовные деревья, которые образуют остовный лес. Граф и его остовный лес — одно и то же с точки зрения связности.

Произвольный граф

Остовный лес в графе

Введём функцию [math]l(e):e{\rightarrow}[0;\mathrm{\log} n][/math] и назовём её уровнем ребра [math]e[/math]. Будем рассматривать графы [math]G_i=\langle V, E\rangle: {E|l(E) \geqslant i}[/math]. Очевидно, что [math]G_{\mathrm{\log}n} \subseteq G_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq G_1 \subseteq G_0[/math]. Выделим в них остовные леса таким образом, чтобы [math]F_{\mathrm{\log}n} \subseteq F_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq F_1 \subseteq F_0[/math], где [math]F_i[/math] — остовный лес графа [math]G_i[/math].

Когда мы добавляем ребро, то мы можем сделать его ребром уровня [math]0[/math]. Тогда изменится только [math]G_0[/math] и, возможно, [math]F_0[/math] (это произойдёт в том случае, если компоненты связности слились в одну, иначе же связность между каждой парой не изменилась, и остовный лес также не изменился.

При удалении

См. также

• Деревья эйлерова обхода
• Задача о динамической связности оффлайн

Источники информации

• http://se.math.spbu.ru/SE/diploma/2012/s/Kopeliovich_diploma.pdf
• Dynamic connectivity — Википедия
• http://courses.csail.mit.edu/6.851/spring12/scribe/L20.pdf
• Лекции — Академия Яндекса