Символ Похгаммера
Определение: |
В математике убывающим факториалом (англ. falling factorial) (иногда называется нисходящим факториалом, постепенно убывающим факториалом или нижним факториалом) обозначают:
|
Определение: |
Растущий факториал (англ. rising factorial) (иногда называется функцией Похгаммера, многочленом Похгаммера, восходящим факториалом, постепенно растущим произведением или верхним факториалом) определяется следующей формулой:
|
При значение принимается равным (пустое произведение).
В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал
в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента .Когда инъективных отображений из множества с элементами во множество из элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения и . Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где — переменная, то есть есть ни что иное как многочлен степени от .
неотрицательное целое число, равняется числуПримеры
Несколько первых растущих факториалов:
Несколько первых убывающих факториалов:
Коэффициенты в выражениях являются числами Стирлинга первого рода.
Свойства
Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:
Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.
Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,
или как убывающий с противоположным аргументом,
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно,
может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения Гамма функции при условии, что и вещественные числа, но не отрицательные целые:
, но с использованиемто же самое и про убывающий факториал:
Если
означает производную по , тоСвязывающие коэффициенты и тождества
Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха и суммами для интегральных степеней переменной с привлечением чисел Стирлинга второго рода в следующих формах, в которых : [1]
Так как убывающие факториалы — базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
Определение: |
Коэффициенты | называются связывающими коэффициентами (англ. connection coefficients).
Связывающие коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить
элементов из множеств размера и .Отношение двух символов Похгаммера определяется как:
Кроме того, мы можем развернуть экспоненты и убывающие факториалы как:
Наконец, по теореме об умножении получаем следующие выражения для растущего факториала:
Альтернативные формы записи
Альтернативная форма записи растущего факториала:
а убывающего факториала:
использовались А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно.[2] Грахам, Кнут и Паташник[3] предложили произносить эти записи как " растущий к " и " убывающий к " соответственно.
Другие формы записи убывающего факториала:
, , , или .Другое обозначение растущего факториала [2]
реже встречается, чем . Обозначение используется для растущего факториала, запись обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.Обобщения
Обобщенный символ Похгаммера называется обобщённый символ Похгаммера, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует q-аналог — q-Похгаммер символ.
Обобщение убывающего факториала, в которой функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются как:
где
декремент и число факторов. Соответствующее обобщения растущего факториала:Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые
и соответственно.Для арифметической функции
и параметров определен обобщенное факториальное произведение вида:См.также
Примeчания
- ↑ Wolfram Functions Site — Introduction to the factorials and binomials
- ↑ 2,0 2,1 According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.
- ↑ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book Concrete Mathematics (1988), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, pp. 47,48