Асимптотика гипергеометрических последовательностей

Определение:

Гипергеометрической называется последовательность, степени многочленов которой больше нуля.

Лемма:

Пусть последовательность [math]a_0,a_1[/math],... положительных чисел такова, что [math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=A\frac{n^k+\alpha_1n^{k-1}+...+\alpha_k}{n^k+\beta_1n^{k-1}+...+\beta_k}[/math] для всех достаточно больших n, причем [math]\alpha_1\ne \beta_1[/math]. Тогда [math]a_n[/math] растет как [math]a_n\sim cA^nn^{\alpha_1-\beta_1}[/math] для некоторой постоянной [math]c\gt 0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел [math]\lim {\frac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}[/math]. Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела [math]\lim_{n \to \infty} \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n[/math]. Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна. Фундаментальность последовательности означает, что для любого [math]\epsilon\gt 0[/math] существует такой номер N, что для всех n > N и всех положительных m [math]|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m)\ln A + n\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|\lt \epsilon[/math], или [math]|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|\lt \epsilon[/math]. Перепишем отношение [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/math] в виде [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{1+\alpha_1 n^{-1}+...+\alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1}+...+\beta_k n^{-k}}=Af(\frac{1}{n})[/math], где [math]f(x)=\frac{1+\alpha_1 x+...+\alpha_k x^k}{1+\beta_1 x+...+\beta_k x^k}[/math] Прологарифмировав (4.7), получаем [math]\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f(\frac{1}{n})[/math]. Посмотрим на функцию [math]\ln f(x)[/math]. Выпишем начальные члены разложения функции f, определенной формулой (4.8), в ряд в точке 0: [math]f(x)=1+(\alpha_1-\beta_1)x+\gamma x^2+...[/math] для некоторой константы [math]\gamma[/math]. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент [math]\alpha_1 - \beta_1[/math](отличный от нуля по предположению теоремы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя [math]n^{\alpha_1-\beta_1}[/math] в асимптотике. Для логарифма функции f имеем [math]\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\tilde{\gamma}x^2+...[/math]. Поэтому для некоторой постоянной C при достаточно маленьком x имеем [math]|\ln f(x) = (\alpha_1 - \beta_1)x|\lt Cx^2[/math]. В частности, если N достаточно велико, то [math]∀ n\gt N[/math] [math]|\ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n}|\lt C \frac{1}{n^2}[/math], [math]|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}|\lt C \frac{1}{(n+1)^2}[/math], [math]........[/math] [math]|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}|\lt C \frac{1}{(n+m)^2}[/math]. Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства (4.6) можно оценить с помощью системы (4.10) и неравенства треугольника: [math]| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {n+m} - \ln n)| = | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - ... + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {n+m} - \ln n)| \le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| + ... + | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n | \le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + ... + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n |[/math]. Поскольку ряд [math]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}[/math] сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших n можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции [math]\frac{1}{[x]}[/math] на отрезке [math][n, n+m][/math], см рис. (Здесь через [math][x][/math] обозначена целая часть числа [math]x[/math], наибольшее целое число, не превосходящее [math]x[/math].) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции [math]y = \frac{1}{x}[/math], но меньше, чем площадь под графиком функции [math]y = \frac{1}{x-1}[/math] равна [math]\ln {n+m-1} - \ln {n - 1}[/math]. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит [math]|(\ln {n+m-1} - \ln {n-1}) - (- \ln {n+m} + \ln n)| = | \ln {1 - \frac{1}{n+m}} - \ln {1 - \frac{1}{n}}| \lt |\ln {1 - \frac{1}{n}}| \lt C \frac{1}{n}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Замечание: Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. Действительно, умножив последовательность an на произвольную постоянную d > 0, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа c для которой увеличивается в d раз

Пример. Для чисел Каталана имеем

[math]\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{4n+2}{n+2}=4\frac{n+\frac{1}{2}}{n+2}[/math]

Поэтому [math]c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}[/math] для некоторой постоянной c.

Пример. Найдем асимптотику коэффициентов для функции [math](a-s)^{\alpha}[/math], где [math]\alpha[/math] вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам уже известна, например, при [math]\alpha=−1[/math]. Согласно определению функции [math](1-s)^{\alpha}[/math] имеем

[math](a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\frac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \frac{\alpha}{1!} \frac{s}{a} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\frac{s}{a})^2} - \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\frac{s}{a})^3+...)[/math].

Если a — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда (4.3) имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться предыдущей леммой при [math]a_n=(-1)^n \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}[/math]

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a} \frac{n-\alpha}{n+1}[/math]

Поэтому [math]a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}[/math]. Например, коэффициенты функции [math]-(1-4s)^{\frac{1}{2}}[/math] ведут себя как [math]c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}[/math], и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.