Теорема Фишера-Линча-Патерсона (FLP)
Теорема Фишера, Линча и Патерсона (FLP, 1985 год) невозможно достичь даже необоснованного консенсуса $N>2$ процессами даже на одном бите при следующих условиях:
- Алгоритм должен завершиться за конечное время.
- Один из узлов может отказать
- Система асинхронна
- Алгоритм должен быть детерминирован.
Если отказов нет, есть простой алгоритм. Если система синхронна, то есть консенсус в синхронных системах. Если разрешаем недетерминизм, то есть алгоритм Бен-Ора.
Доказательство
Из презентации Р. Елизарова.
От противного: пусть есть такой алгоритм, тогда мы проанализируем варианты его исполнения, подстроим порядок доставки сообщений (без откладывания сообщений бесконечно далеко), получим бесконечную цепочку выполнения и противоречие с конечностью алгоритма.
Модель
| Определение: |
Процесс — это детерминированный автомат, который может выполнять три операции:
|
Для доказательства от противного у нас есть такой алгоритм для процессов, что все они вызывают decided(value) с одинаковым значением через конечное время, независимо от того, как система задерживает сообщения.
| Определение: |
| Конфигурация — это состояния всех процессов плюс все сообщения в пути (которые отправили, но ещё не доставили). |
В начальной конфигурация у каждого процесса может быть сколько угодно входных данных и даже своя программа. Начальных конфигураций может быть несколько, они могут отличаться, например, предложениями процессов.
| Определение: |
Шаг из одной конфигурации в другую — это приём какого-то сообщения процессом (событие) и последовавшие за этим внутренние действия процесса до следующего receive(). Эти действия однозначно определяются предыдущей конфигурацией и событием. |
| Определение: |
| Исполнение — это бесконечная цепочка шагов из какой-нибудь начальной конфигурации. Бесконечная, потому что процессы могут выполняться и после принятия решений. |
| Определение: |
| Отказавший процесс — это процесс, который делает только конечное количество шагов в исполнении. Такой в системе может быть максимум один (это более сильное условие, чем если может много процессов отказывать). |
Также гарантируется, что в любом исполнении любое сообщение, предназначенное не отказавшему процессу, обрабатывается через конечное число шагов.
Другими словами, сообщения не теряются.
Валентность
Заметим, что в любом исполнении всегда принимается решение. Даже если один процесс отказал, то все остальные должны прийти к решению за конечное число шагов.
| Определение: |
| Конфигурация называется $i$-валентной и одновалентной, если все цепочки шагов из неё приводят к решению $i$.
Таким образом, бывают 0-валентные и 1-валентные конфигурации. Если же из конфигурации есть цепочки, приводящие к каждому из решений, то такая конфигурация называется бивалентной. |
Наблюдение: пусть из конфигурации $X$ есть цепочка шагов, обрабатывающая сообщения из $X$ в подмножестве процессов $A$, за которой идёт цепочка процессов, обрабатывающая сообщения из $X$ в подмножестве процессов $B$, и в конце мы получили конфигурацию $Y$. Тогда эти цепочки коммутируют: можно сначала обработать сообщения подмножеством процессов $B$, а потом — $A$ (так как мы обрабатываем только сообщения из $X$, а не новые).
Наблюдение: за $i$-валентной конфигурацией могут следовать только $i$-валентные.
Начальная бивалентная конфигурация
Лемма: существует бивалентная начальная конфигурация.
Доказательство от противного: пусть все начальные конфигурации одновалентны. Из нетривиальности консенсуса мы знаем, что есть как 0-, так и 1-валентные начальные конфигурации. Тогда можно найти две начальные конфигурации разной валентности, которые отличаются только состоянием одного процесса: взяли две произвольные начальные конфигурации разной валентности, начали переводить одну в другую копированием исходных состояний процессов, по одному процессу за шаг.
А раз есть две такие конфигурации разной валентности, то пусть в каждой из них этот процесс (где они отличаются) откажет с самого начала, до отправки и приёма любых сообщений. Тогда мы всё ещё получим консенсус, но решение будет одинаковым, потому что внешняя система никак не может выявить состояние отказавшего процесса. А они исходно были разной валентности, противоречие.
Цепочка бивалентных конфигураций
Лемма: для любой бивалентной конфигурации можно найти следующую за ней бивалентную.
Следствие: если лемма верна, то мы можем построить бесконечную цепочку бивалентных конфигураций и тем самым получим противоречие и докажем FLP: есть бесконечная цепочка, в которой не принято решение.
Доказательство: от противного. Пусть все конфигурации после некотороый бивалентной конфигурации $G$ одновалентны. Введём определения:
- $e$ — какое-то событие в $G$, скармливающее сообщение $m$ процессу $p$. Такое есть, иначе у нас в конфигурации ничего не происходит, она бивалентна, а решение должно быть детерминированным, противоречие.
- $C$ — множество конфигураций, достижимых из $G$ без использования $e$. В частности, в $C$ по предположению отсутствуют бивалентные конфигурации.
- $D=e(C)$, то есть все конфигурации, достижимые из $G$, где $e$ — последнее обработанное событие. В частности, в $D$ по предположению отсутствуют бивалентные конфигурации.
Теперь докажем, что $D$ содержит бивалентную конфигурацию. То есть мы выбрали, насколько сильно отложить обработку произвольного события $e$ и показали, что это не порушит бивалентность. Надо ещё аккуратно, чтобы это не порушило конечность обработки каждого сообщения. Например, их можно обрабатывать по очереди, начиная с самых старых. Тогда каждое событие рано или поздно попадёт в наш шаг и будет обработано.
Шаг 1: существование $i$-валентных конфигураций в $D$
Подлемма: для любого $i$ в $D$ существует $i$-валентная конфигурация.
В самом деле: так как $G$ бивалентна, то по какой-то цепочке шагов из неё можно дойти до $i$-валентной конфигурации $E_i$. Дальше разбором случаев находим искомую конфигурацию в $D$:
- Если $E_i \in D$, то мы доказали подлемму.
- Если $E_i \in C$, то $e(E_i) \in D$, у $e(E_i)$ такая же валентность и мы снова доказали подлемму.
- Иначе ребро $e$ применялось в цепочке шагов для достижения $E_i$ из $G$. Найдём конфигурацию $F_i \in D$, которая была в этой цепочке шагов сразу после применения $e$. Так как в $D$ нет бивалентных конфигураций, то $F_i$ является $i$-валентной, что и требовалось.
