Дополнение к ранжированию
Порядки
При рассмотрении различных ситуаций, связанных с извлечением экспертных знаний, возникает потребность каким-либо упорядочить все множество оценок, затрагивая уже понятие группового ранжирования. Положим, имеется конечное множество Χ объектов (например, экспертных оценок или критериев) и m экспертов, пронумерованных индексами 1,2... m. каждый i-й эксперт выставляет рейтинг, порождая порядок.
Слабое ранжирование.Представления
Слабое упорядовачивание
| Определение: |
Бинарное отношение на множестве , которое является частично упорядоченным, называется слабым упорядочиванием (англ. weak ordering), если оно обладает следующими свойствами:
|
Рассмотрим случаи, определеяющее частичное упорядочение как:
- Сильное: и , те если ~ .
- Слабое: если , то и .
Можно заключить, что любое cильное упорядовачивание есть слабое. Отношение несравнимости является отношением эквивалентности для всех своих разбиений на множестве , что являются линейно упорядоченными.
Сильный подпорядок
| Определение: |
| Сильный подпорядок — такой подпорядок, на котором присутствует отношение связанности. |
Сильный подпорядок обладает рядом следующих свойств:
- Транзитивность: , если и .
- Связанности: выполнимо либо , либо .
Если в любом сильном подпорядке и , то на нем определено отношение эквивалентности. Поскольку операция определена для всех элементов, такие подпорядки еще называют отношением предпочтения.
Упорядоченное разбиение
Сравнения
Вещественная функция
Удобство использования слабого ранжирования в том, что его элементы могут быть представленны единственным образом с помощью вещественных функций. Рассмотрим следующую теорему.
| Теорема: |
Для любого частичного упорядовачивания слабое тогда и только тогда, когда существует и отображение если , то и наоборот. |
Таким образом, чтобы имели место быть:
- частичный подпорядок: для тогда и только тогда, когда .
- эквивалентность: для тогда и только тогда, когда .
Ограничения:
- - Лексикографические предпочтения
Хоть и на любом конечном множестве может определена ранжирующая функция, однако для случая лексикографического порядка функция не определена на .
В случае, если бы являлась бы инъективной функцей, что класс эквивалентности двух элементов множества мог бы переходить в более широкий соответсвий класс на множестве .
Если на вводятся ограничения, чтобы быть сюръективной функцией, то при отображении элементов некого класса на возможно соответсвие ему меньшего или вовсе пустого класса на .
Кусочная последовательность
Для любого конечного множества , на котором задано отношение слабого упорядовачивания и , может быть применимо моделирование с помощью кусочных последовательностей. Рассмотрим пример. Положим, что
Тогда слабое ранжирование представляется в виде следующего:
