Формула Валлиса

Формула Валлиса — одна из первых формул, в которой число [math]\pi[/math] выражено в виде последовательности рациональных чисел.

Однако, так как она очень медленно приближается к [math]\pi[/math], на практике её использование бессмысленно.

Определение:

[math](2n)!! = 2\cdot4\cdot\ldots\cdot2n[/math]

Определение:

[math](2n - 1)!! = 1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n - 1)[/math]

Утверждение:

[math]\frac\pi2 = \lim\limits_{n \to \infty} \left[\frac{2n!!}{(2n-1)!!}\right]^2 \cdot \frac1{2n+1}[/math]

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим последовательность [math]I_n = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n x dx[/math] и выведем для неё рекуррентную формулу. [math]I_n = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^n x dx = [/math] [math]\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{n - 1} x d\cos x = [/math] [math]-\sin^{n -1}\cos x|^{\pi/2}_0 + \int\limits_0^{\pi/2} \cos x d \sin^{n-1}x = [/math] [math](n - 1)\int\limits_0^{\pi/2} \sin^{n - 2} x \frac{\cos^2x}{1-\sin^2x}dx = [/math] [math](n - 1)(I_{n - 2} - I_n)[/math] Получили: [math]I_n = (n - 1)(I_{n - 2} - I_n)[/math]. [math]I_n = \frac{n -1}nI_{n-2}[/math] Получена рекуррентная формула с шагом два. Значит, для её вычисления нужно найти [math]I_0[/math] и [math]I_1[/math]. [math]I_0 = \int\limits_0^{\pi/2} 1 dx = \frac\pi2[/math] [math]I_1 = \int\limits_0^{\pi/2} \sin x dx = -\cos x|_0^{\pi/2} = 1[/math] Раскроем рекуррентность: [math]I_n =[/math] [math]\frac{n - 1}n I_{n - 2} =[/math] [math]\frac{n - 1}n \cdot \frac{n - 3}{n - 4} I_{n - 4} = [/math] [math]\ldots[/math]. Посчитаем отдельно для случая чётного и нечётного [math]n[/math]. [math]I_{2n+1} = \frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot \ldots \cdot 1 = \frac{(2n)!!}{(2n + 1)!!}[/math] [math]I_{2n} = \frac{2n-1}{2n} \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \ldots \cdot \frac\pi2 = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac\pi2[/math] Так как при [math]x \in \left[0; \frac\pi2\right][/math] [math]\sin x \geq 0[/math], [math]\sin^{n + 1} x \leq \sin^n x[/math]. Тогда [math]I_{n + 1} \leq I_n[/math] Также, [math]I_{2n+1} \leq I_{2n} \leq I_{2n-1}[/math]. Распишем это неравенство: [math]\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \leq \frac\pi2 \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \leq \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}[/math]. Домножим всё на [math]\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}[/math]. За [math]a_n[/math] обозначим то, что находится под знаком предела в формуле Валлиса. [math]a_n \leq \frac\pi2 \leq \frac{2n+1}{2n} a_n = a_n(1 + \frac1{2n})[/math] Рассмотрим разность крайних выражений: [math]a_n(1 + \frac1{2n}) - a_n = a_n\frac1{2n} \leq \frac\pi2 \frac1{2n}[/math]. Это при устремлении [math]n \to \infty[/math] стремится к [math]0[/math]: [math]0 \leq \frac\pi2 - a_n \leq \frac\pi2 \frac1{2n}[/math]

[math]\triangleleft[/math]