Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности

Необходимые определения

Определение:

Производящая функция [math]F(t)[/math] называется дробно-рациональной (англ. rational), если она представима в виде отношения двух многочленов, то есть [math]F(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}[/math], где [math]P(t), Q(t)[/math] — многочлены конечной степени

Отметим, что если [math]p_0 = 0[/math] и [math]q_0 = 0[/math], то оба многочлена могут быть разделены на [math]t[/math]. Разделим оба многочлена на [math]t[/math]. Если после деления [math]p_0[/math] и [math]q_0[/math] остаются равными нулю, то разделим на [math]t[/math] ещё раз. Делить будем до тех пор, пока [math]q_0[/math] и [math]p_0[/math] будут оставаться равными нулю.

Ситуация, при которой [math]q_0 = 0[/math], а [math]p_0 \neq 0[/math], невозможна по правилам деления формальных степенных рядов.

Остаётся ситуация, при которой [math]q_0 \neq 0[/math]. Тогда необходимо разделить [math]P(t), Q(t)[/math] на [math]q_0[/math], чтобы [math]q_0[/math] стало равным [math]1[/math]. В дальнейшем, без ограничения общности, полагаем [math]q_0 = 1[/math]

Определение:

Последовательность [math]a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots [/math] называется линейной рекуррентной последовательностью (англ. constant-recursive sequence), если её члены [math]a_0 \ldots a_{k - 1} [/math] заданы, а [math]\forall n \geqslant k [/math] выполняется [math] a_n = c_1 \cdot a_{n - 1} + \ldots + c_k \cdot a_{n - k}[/math]

Условные обозначения

В дальнейшем будем придерживаться следующих условных обозначений:

Будем обозначать [math][t^n]X(t)[/math] коэффициент при [math]t^n[/math] в [math]X(t)[/math]

[math][t^n]A(t) = a_n[/math]

[math][t^n]Q(t) = q_n[/math]

[math][t^n]P(t) = p_n[/math]

[math][t^n]F(t) = f_n[/math]

Теорема о связи этих понятий

Теорема:

Последовательность [math]a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots [/math] является линейной рекуррентной последовательностью с [math]k[/math] первыми заданными членами, определяемыми коэффициентами [math]c_1, c_2, \ldots, c_k[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] её производящая функция [math]A(t)[/math] является дробно-рациональной, причём представимой в виде [math]A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}[/math], где [math]Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k[/math], [math]deg(P) \lt k[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Пусть [math]c_1, c_2, \ldots, c_k[/math] — коэффициенты, задающие линейную рекуррентную последовательность [math]a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots [/math], то есть первые [math]k-1[/math] членов заданы, а для следующих справедливо соотношение [math]a_n = \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}[/math]. Напишем друг под другом несколько производящих функций и соответствующих им формальных степенных рядов: [math]A(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_k \cdot t^k + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots[/math] [math]-c_1 \cdot t \cdot A(t) = 0 - c_1 \cdot a_0 \cdot t - c_1 \cdot a_1 \cdot t^2 - \ldots - c_1 \cdot a_{k - 1} \cdot t^k - \ldots - c_1 \cdot a_{n - 1} \cdot t^n - \ldots[/math] [math]-c_2 \cdot t^2 \cdot A(t) = 0 + 0 - c_2 \cdot a_0 \cdot t^2 - \ldots - c_2 \cdot a_{k - 2} \cdot t^k - \ldots - c_2 \cdot a_{n - 2} \cdot t^n - \ldots[/math] [math]\cdots[/math] [math]-c_k \cdot t^k \cdot A(t) = 0 + 0 + 0 + \ldots +0-c_k \cdot a_0 \cdot t^k - \ldots - c_k \cdot a_{n - k} \cdot t^n + \ldots[/math] Сложим все равенства и получим [math]A(t) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + \\ + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1} + (a_k - \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{k - i}) \cdot t^k + \ldots + (a_n - \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}) \cdot t^n + \ldots[/math] Для всех [math]n \geqslant k[/math] выполняется равенство [math]a_n = \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}[/math], поэтому в правой части все коэффициенты при степенях, начиная с [math]k[/math], обнулятся, а равенство будет выглядеть следующим образом: [math]A(t) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1}[/math]. Заметим, что второй множитель в левой части равен в точности [math]Q(t)[/math], а степень правой части не превосходит [math]k-1[/math]. Получили требуемое построение. Замечание. Многочлен [math]P(t)[/math] можно найти по формуле [math]A(t) \cdot Q(t)[/math] как числитель получившейся дроби. К результату можно применить взятие его по модулю [math]t^k[/math]. Это действие не испортит многочлен, так как его степень строго меньше [math]k[/math]. При этом мы сократим число операций при вычислении [math]P(t)[/math], поскольку достаточно найти только [math]k[/math] первых членов результирующего ряда, а для этого можно обойтись только первыми [math]k[/math] слагаемыми степенных рядов, соответствующих производящей функции [math]A(t)[/math] и столькими же для [math]Q(t)[/math]. Итак, [math]P(t) = A(t) \cdot Q(t) \mathrm{\ mod\ } t^k[/math]. [math]\Leftarrow[/math] Пусть [math]A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}[/math], [math]Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k[/math], [math] deg(P) \lt k[/math]. Перепишем первое равенство, выразив [math]P(t)[/math] через [math]A(t)[/math] и [math]Q(t)[/math]: [math]P(t) = A(t) \cdot Q(t)[/math]. Так как [math]deg(P) \lt k[/math], выполнено [math]p_n = 0[/math] для любого [math]n \geqslant k [/math]. Расписывая [math]p_n[/math] по определению произведения степенных рядов, получаем [math]p_n = \sum\limits_{i = 0}^n a_{n-i} \cdot q_{i} = 0[/math]. Разобьём полученную сумму на две: [math]p_n = \sum\limits_{i = 0}^{k} a_{n-i}\cdot q_{i} + \sum\limits_{i = k+1}^n a_{n-i}\cdot q_{i}[/math]. Так как [math] Q(t)[/math] известно, можем определить, чему равны эти суммы. Для первой выполняются равенства: [math] q_0 = 1[/math], [math] q_i = -c_i[/math] для всех [math] i[/math] за исключением нуля. Вторая же компонента равна нулю, поскольку [math]deg(Q) = k[/math]. Тогда [math]p_n = a_n + \sum\limits_{i = 1}^k a_{n-i} \cdot (-c_{i}) = a_n - \sum\limits_{i = 1}^k a_{n-i} \cdot c_{i} = 0[/math]. Развернём выражение для [math]p_n[/math]: [math] a_n - \sum\limits_{i = 1}^k a_{n-i} \cdot c_{i} = a_n - a_{n-1} \cdot c_1 - \ldots - a_{n-k} \cdot c_k = 0[/math]. Перенесём все слагаемые, кроме [math]a_n[/math], вправо: [math] a_n = a_{n-1} \cdot c_1 + a_{n-2} \cdot c_2 + \ldots + a_{n-k} \cdot c_k[/math]. Видим, что [math]a_n[/math] — член линейной рекуррентной последовательности, заданной коэффициентами [math]c_1, c_2, \ldots, c_k[/math], причём это выполнено для всех [math]n \geqslant k [/math], так как индекс [math]n[/math], удовлетворяющий данному условию, выбирался произвольно.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры применения теоремы

Вычисление производящей функции последовательности [math]a_0 = 1, a_n = k \cdot a_{n - 1}[/math]

Вычислим производящую функцию последовательности [math]a_0 = 1, a_n = k \cdot a_{n - 1}[/math]

• Так как последовательность является линейно рекуррентной, её производящая функция, согласно теореме, имеет вид [math]F(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}[/math], где [math]Q(t) = 1 - k \cdot t[/math] (так как [math]c_1 = k[/math]), а [math]deg(P) \lt 1[/math].

  Будем искать производящую функцию в виде [math]F(t) = \dfrac{C}{1 - k \cdot t}, C \in \mathbb{R}[/math]

  Пусть [math]F(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots [/math], тогда [math]a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots = \dfrac{C}{1 - k \cdot t}[/math], следовательно [math](a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots a_n \cdot t^n + \ldots) \cdot (1 - k \cdot t) = C[/math]

  Пользуясь правилом перемножения формальных степенных рядов, получаем

  [math] C = a_0 \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1[/math]

  Следовательно, [math] F(t) = \dfrac{1}{1 - k \cdot t}[/math]

  Таким образом, [math] 1 + k \cdot t + (k \cdot t)^2 + \ldots + (k \cdot t)^n + \ldots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}(k \cdot t)^n = \dfrac{1}{1 - k \cdot t}[/math]

  Частным случаем этой формулы являются соотношения [math]1 + t + t^2 + \ldots t^n + \cdots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}t^n =\dfrac{1}{1 - t}[/math] и [math]1 - t + t^2 + \ldots (-1)^n \cdot t^n + \cdots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}(-1)^n \cdot t^n = \dfrac{1}{1 + t}[/math]

Представление в виде отношения многочленов производящей функции для последовательности чисел Фибоначчи

Введём обозначения:

[math]F(t)[/math] — производящая функция для чисел Фибоначчи,

[math]f_n = [t^n]F(t)[/math].

Последовательность задаётся следующим образом:

[math]f_0 = f_1 = 1[/math],

[math]f_n = f_{n-1} + f_{n-2},\ n \geq 2[/math].

Здесь [math]k=2[/math] и [math]c_1 = c_2 = 1[/math], следовательно [math]Q(t) = 1 - t - t^2[/math].

К числителю применим формулу [math]P(t) = F(t) \cdot Q(t) \mathrm{\ mod\ } t^2[/math]. Чтобы получить ответ, требуется всего лишь найти [math]p_0[/math] и [math]p_1[/math].

[math]p_0 = f_0 \cdot q_0 = 1 \cdot 1 = 1[/math],

[math]p_1 = f_0 \cdot q_1 + f_1 \cdot q_0 = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0[/math].

Таким образом, [math]F(t) = \dfrac{1}{1 - t - t^2}[/math].

Вычисление коэффициентов ряда [math]\dfrac{1}{(1-t)^2}[/math] с помощью теоремы о связи рекуррентности и рациональности

Найдём коэффициенты ряда [math]\dfrac{1}{(1-t)^2}[/math] через построение рекуррентного соотношения.

Имеем

[math]P(t)=1[/math],

[math]Q(t)=(1-t)^2 = 1 - 2t + t^2[/math].

Второе равенство позволяет найти [math]k[/math] и коэффициенты [math]c_1, c_2 \ldots c_k[/math]. В нашем примере [math]k=2[/math], [math]c_1=2[/math], [math]c_2=-1[/math].

Зная, что [math]P(t)=A(t)\cdot Q(t) \mathrm{\ mod\ }t^2[/math], найдём первые два коэффициента ряда, соответствующего функции [math]A(t)[/math]. Подставим в равенство известные значения:

[math]1 = (a_0 + a_1t)\cdot(1 - 2t)[/math]. Отсюда [math]a_0=1[/math], [math]a_1=2[/math].

Итак, коэффициенты [math]A(t)[/math] задаются соотношением

[math]a_0=1[/math], [math]a_1=2[/math],

[math]a_n=2\cdot a_{n-1} - a_{n-2},\ n\geq 2[/math].

Известно, что [math]\dfrac{1}{(1-t)^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+1)\cdot t^n}[/math]. Такой результат можно получить, например, продифференцировав ряд функции [math]\dfrac{1}{1-t}[/math]. Проверим, что нахождение рекуррентного соотношения для исходной дроби даёт такой же результат, то есть для всех [math]n[/math] выполняется [math]a_{n}=n+1[/math].

• Для начальных значений равенства выполнены: [math]a_0=1=0+1[/math], [math]a_1=2=1+1[/math];
• Будем считать предыдущие равенства базой индукции. То есть существует такое число [math]n\geq 1[/math], что до него проверяемая формула работала. Для следующего числа [math]n+1[/math] верно [math]a_{n+1}=2\cdot a_{n} - a_{n-1}[/math]. Предыдущие значения известны. Они подчинялись равенству [math]a_{n}=n+1[/math]. Раскроем формулу:

  [math]a_{n+1}=2\cdot a_{n} - a_{n-1} = 2\cdot (n+1) - n = 2\cdot n + 2 - n = n+2 = (n+1) + 1[/math].

Методом математической индукции показали, что нет такого [math]n[/math], на котором действие формулы [math]a_{n}=n+1[/math] заканчивается, и установили, что результаты нахождения коэффициентов [math]A(t)[/math] методами дифференцирования и выражения через рекуррентную связь совпали.

См. также

• Арифметические действия с формальными степенными рядами
• Производящая функция

Источники информации

• С. А. Ландо — Лекции о производящих функциях, стр 24