Материал из Викиконспекты
Линейные программы
Определения и основные понятия, связанные с булевыми функциями описаны в статье "определение булевой функции".
| Определение: |
| Линейная программа — последовательность строк вида [math]x = F(x_1, x_2, \dots , x_n)[/math], где [math]x, x_1, \dots , x_n[/math] — переменные, а [math]F[/math] — [math]k[/math]-местная базисная функция. |
Пример
Для базиса [math]B_0 = \{\vee, \wedge, \neg \}[/math] линейная программа состоит из присваиваний вида:
- [math]A = B \wedge C[/math];
- [math]E = A \vee B[/math];
- [math]D = \neg E[/math].
Линейная программа [math]P[/math] с выделенными переменными [math]x_1,\dots , x_n[/math] порождает для каждого набора [math]\sigma_1, \dots , \sigma_n[/math] значений входных переменных естественный процесс вычисления:
- Переменным [math]x_1, \dots , x_n[/math] присваиваются значения [math]\sigma_1, \dots , \sigma_n[/math], соответственно, а каждой из остальных переменных присваивается значение [math]0[/math];
- Последовательно выполняются присваивания программы [math]P[/math], в результате чего каждая из переменных [math]x_i \; \forall i = 1 .. n[/math] программы получит итоговое значение [math]P_Z(\sigma_1, \dots , \sigma_n)[/math].
| Определение: |
| Программа [math]P[/math] со входными переменными [math]x_1,\dots , x_n[/math] вычисляет в выходной переменной [math]Z[/math] функцию [math]F(x_1, \dots , x_n)[/math], если для любого набора значений входов [math]\sigma_1, \dots , \sigma_n[/math] после завершения работы [math]P_Z(\sigma_1, \dots , \sigma_n) = F(\sigma_1, \dots , \sigma_n)[/math]. |
Связь между схемами и линейными программами
Как известно, булевы функции представимы в виде схем из функциональных элементов. В данном пункте мы определим связь между такими схемами и линейными программами.
| Теорема: |
- По каждой логической схеме [math]S[/math] со входами [math]x_1, \dots , x_n[/math] и функциональными элементами [math]v_1, \dots , v_m[/math] можно эффективно построить линейную программу [math]P_S[/math] со входными переменными [math]x_1, \dots , x_n[/math] и рабочими переменными [math]v_1, \dots , v_m[/math], которая в любой переменной [math]v_i, i = 1, \dots , m[/math], вычисляет функцию [math]f_{v_i}(x_1, \ldots , x_n)[/math];
- По каждой линейной программе [math]P[/math] со входными переменными [math]x_1, \dots , x_n[/math], вычисляющей в выходной переменной [math]Z[/math] некоторую функцию [math]F(x_1, \dots , x_n)[/math] можно эффективно построить логическую схему [math]S_P[/math] со входами [math]x_1,\dots , x_n[/math], в которой имеется вершина [math]v[/math] такая, что [math]f_v(x_1, \dots , x_n) = F(x_1, \dots , x_n)[/math].
|
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
(1)
Пусть [math]S[/math] — схема со входами [math]x_1, \dots , x_n[/math] и функциональными элементами [math]v_1, \dots , v_m[/math]. Построим по ней линейную программу [math]P_S[/math] со входными переменными [math]x_1, \dots , x_n[/math] следующим образом. Топологически отсортируем все входные и функциональные вершины [math]S[/math]: [math]u_1, \dots , u_{n + m}[/math]. Программа [math]P_S[/math] будет последовательностью [math]m[/math] присваиваний.
- Пусть вершина [math]u_{n + i}[/math] помечена [math]\neg[/math], и в нее входит ребро из [math]u_j[/math]. Тогда в качестве [math]i[/math]ой команды поместим в [math]P_S[/math] присваивание [math]u_{n + i}= \neg u_j[/math];
- Пусть вершина [math]u_{n + i}[/math] помечена [math]\circ \in \{ \wedge , \vee \}[/math], и в нее входят ребра из [math]u_j[/math] и [math]u_k[/math]. Тогда в качестве [math]i[/math]ой команды поместим в [math]P_S[/math] присваивание [math]u_{n + i} = u_j \circ u_k[/math].
Топологическая сортировка вершин гарантирует, что [math]j \lt n + i \wedge k \lt n + i[/math]. Поэтому при вычислении [math]u_{n + i}[/math] значения аргументов уже получены и индукцией по глубине легко показать, что [math]\forall i = 1, \dots , m[/math] программа [math]P_S[/math] вычисляет в переменной [math]v_i[/math] функцию [math]f_{v_i}(x_1, \dots, x_n)[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Пример
Воспользуемся только что доказанной теоремой, и построим на основании этой схемы линейную программу.
Результатом топологической сортировки данного графа может стать последовательность вершин: [math]x, y, z, a, b, c, d, e, f[/math]. Тогда программа [math]P_S[/math] будет иметь следующий вид:
[math]x_3 = x_0 \wedge x_1[/math]
[math]x_4 = \neg x_2[/math]
[math]x_5 = \neg x_3[/math]
[math]x_6 = x_5 \wedge x_2[/math]
[math]x_7 = x_3 \wedge x_4[/math]
[math]x_8 = x_6 \vee x_7[/math]
| Утверждение: |
Число команд в линейной программе [math]P_S[/math], т.е. время ее выполнения, совпадает со сложностью [math]L(S)[/math] схемы [math]S[/math]. Глубина схемы [math]D(S)[/math] также имеет смысл с точки зрения времени вычисления. Именно, [math]D(S)[/math] — это время выполнения [math]P_S[/math] на многопроцессорной системе. Действительно, все команды, соответствующие вершинам одинаковой глубины, можно выполнять параллельно на разных процессорах, так как результаты любой из них не используются в качестве аргументов другой. |
См. такжеЛитература
