Анализ временных рядов

Временные ряды это актуальный инструмент применимые во множестве решений, от предсказания цен на акции, прогнозов погоды, планирования бизнеса, до распределения ресурсов. Несмотря на то, что прогнозирование может быть сведено к построению контролируемой регрессии, существуют особенноссти, связанные с временным характером наблюдений, которые необходимо учитывать, используя специальные инструменты.

Временной ряд

Временно́й ряд (или ряд динамики) — собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Во временном ряде для каждого отсчёта должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных, так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки.

Как валидировать и тестировать модель временного ряда?

Из-за временных зависимостей данных временных рядов, мы не можем пользоваться обычными способами валидации. Чтобы избежать смещения оценки мы должны удостовериться, что обучающие наборы данных содержат только наблюдения, которые произошли до событий из валидирующий наборов.

Рисунок 1. кросс-валидация временного ряда^[1]

Возможным способом преодоления данной проблемы будет использование скользящего окна, как описано здесь. Эта процедура называется кросс-валидацией временного ряда и может быть вкратце описано следующей картинкой(рис. 1), в которой синие точки обозначают тренировочный набор данных, а красные соответствующие валидационные наборы данных.

Если мы хотим предсказать следующие n шагов, то можно заранее кросс-валидировать 1,2,...,n шагов. Таким образов можно также сравнить качество предсказаний для разных временных горизонтов ^{[на 07.01.21 не создан]}.

Определив лучшую модель, мы можем применить её ко всему обучающему набору и оценить его работу на следующем во времени наборе данных. Оценка работы может быть дана с использованием метода скользящего окна, который мы использовали при кросс-валидации, но без переподсчёта параметром модели.

Краткое исследование данных

Рисунок 2. Набор данных описывающий график производства электрооборудования^[2]

Рисунок 3. Сезонные колебания^[3]

В следующей части мы попробуем использовать несколько разных моделей для предсказания изменений в промышленного производства, которое будем оценивать численно, как количество электро оборудования, произведённого в зоне Евро.

Данные легко получить из пакета fpp2 в R. Чтобы набор можно было использовать вне R просто запустите следующий код в среде R.

library(fpp2)
write.csv(elecequip,file = “elecequip.csv”,row.names = FALSE)

Набор данных описывает ежемесячное производство электрооборудования(компьютеры электрические и оптические приборы)(рис. 2) в зоне евро(17 стран) в период с января 1996 по март 2012 года (см. график ниже). Последние два года будем использовать при тестировании.

Временной ряд имеет пик в конце 2000 и другой в течение 2007. Также наблюдается большой спад в конце 2008 года, который, видимо, совпал с мировым финансовым кризисом,который случился в том же году.

В течение каждого года можно увидеть повторяющийся рисунок, описывающий сезонные колебания(рис. 3). Посмотрим ближе на графики каждого года, чтобы лучше его понять, представим графики в декартовых и полярных координатах.

Можно наблюдать сильно выраженные сезонные изменения, особенно большой спад в августе, связанный с летними каникулами(рис. 4).

Модели прогнозирования временных рядов

Наивный
Разделение по сезонам (+ любая модель)
Экспоненциальное сглаживание
ARIMA, SARIMA
GARCH
Динамические линейные модели
TBATS
Prophet
NNETAR
LSTM

Будем предсказывать 12 месяцев, соответсвтенно, значение t+1, t+2, …, t + 12. Имеет смысл использовать среднюю абсолютную ошибку для работы оценки модели.

Наивная

Рисунок 4. Наивная^[4]

Предсказания для каждого горизонта соотвествуют последнему наблюдаему значению Y(t + h|t) = Y(t).

Такие предскания предполагают, что стохастическая модель генерирует случайное блуждание(рис. 4).

Рисунок 5. Сезонно наивная^[5]

Расширение наивной модели (рис. 5)SNAIVE — сезонно-наивная модель предполагает, что временной ряд имеет сезонную компоненту, и что период сезонности T.

Прогнозы SNAIVE - модели описываются формулой Y*(t+h|t) = Y(t+h-T).

Получаемые прогнозы следующий T шагов совпадают с предыдущими T шагами. Эти модели часто используются как ориентировочные модели. Следующий график показывает предсказания двух моделей для 2007 года.

Модели были имплементированы с помощью встроенных функций naive и snaive из пакета forecast в R.

Разделение по сезонам + любая модель

Рисунок 6. Методы разложения ряда^[6]

Если данные показывают, что они воспроиимчивы к периодическим-сезонным изменениям(ежедневно, еженедельно, ежеквартально, ежегодно), то будет полезным разложить исходный временной ряд на сумму трёх компонентов.

Y(t) = S(t) + T(t) + R(t)
S(t) — сезонный компонент T(t) — компонент трендового цикла R(t)— остаток
Существуют несколько способов для такого разложения, но наиболее простой называется классическим разложением и заключается в том, чтобы
Оценить тренд T(t) через скользящее среднее
Посчитать S(t), как среднее без тренда Y(t) - T(t) для каждого сезона
Посчитать остаток, как
R(t) = Y(t) - T(t)-S(t)

Рисунок 7. Сезонные индексы ряда^[7]

Классическое разложение можно расширить несколькими способами Расширение позволяет использовать данный метод при: *непостоянной величине сезона *посчитать начальные и конечные значение декомпозиции *избежать лишнего сглаживания

Обзор методов разложений ряда можно увидеть по ссылке. Мы воспользуемся реализацией из стандартной библиотеки(рис. 6), которая достаточно универсальна и надёжна.

Одним из способов использования декомпозиции для прогнозирования будет:
1)разложить обучающий набор алгоритмом из STL.
2)посчитать сезонное отклонение ряда Y(t)-S(t), используя любую модель для прогнозирования сезоно-чувствительного временного ряда.
3)Добавить прогнозам сезонность последнего временного периода во временном ряду(в нашем случае S(t) для прошлого года).

Рисунок 8. Декомпозиция и наивная модель^[8]

На следующем графике показаны сезонные индексы ряда с учётом сезонности (рис. 7):

Следующий график показывает предсказания полученные для 2007 года с использованием STL декомпозиции и наивной модели(рис. 8) для сезонно-изменяемого временного ряда:

Декомпозиция была исплементирована с помощью встроенной в стандартную либу функции.

Экспоненциальное сглаживание

Рисунок 9. данные полученные для 2007 года с использованием модели экспоненциального сглаживания^[9]

Экспоненциальное сглаживание^[10] — один из наиболее успешных классических методов предсказаний. В своей базовой форме оно называется простым экспоненциальный сглаживанием и его прогнозы описываются формулами: Ŷ(t+h|t) = ⍺y(t) + ⍺(1-⍺)y(t-1) + ⍺(1-⍺)²y(t-2) + … with 0<⍺<1.

Рисунок 10. данные полученные для 2007 года с использованием модели экспоненциального сглаживания и декомпозиции^[11]

Заметим, что прогнозы равны взвешенному среднему от старых наблюдений, и что соответствующие веса убывают экспоненциально по мере хода времени.

Некоторые методы для расширения алгоритма позволяют добавить тренд, его затухание и сезонность. Экспоненциальное сглаживание состоит из 9 моделей, которые подробно описаны здесь(ссылка)

Следующие графики(рис. 9, 10) описывают прогнозы данные полученные для 2007 года с использованием модели экспоненциального сглаживания(выбраны автоматически), которые подходили исходному и сезонно-чувствительному временному ряду.

Модели были имплементированы с помощью функции ets в forecast пакете R.

ARIMA, SARIMA

Рисунок 11. SARIMA^[12]

Также как и экспоненциальное сглаживание, ARIMA также часто используются для прогноза временных рядов. Название является акронимом AutoRegressive Integrated Moving Average Саморегрессивное интегрированное скользящее среднее

Саморегрессивность — линейная комбинация старых значений. Скользящее среднее — линейная комбинация прошлых ошибок.

Рисунок 12. SARIMA декомпозированная^[13]

ARIMA — комбинация этих двух подходов. Так как эти подходы требуют стационарности временного ряда, может понадобится продифференциировать/проинтегрировать ряд То есть рассматировать ряд разностей, а не исходный ряд

SARIMA учитывает сезонность, добавляя линейную комбинацию прошлых сезонных значений и/или прошлых ошибок прогноза Для полного ввода в ARIMA, SARIMA читайте по ссылке

Данные графики показывают предсказания полученные для 2007 года с использованием модели SARIMA(рис. 11,12).

Имплементация с помощью встроенной в R функции auto.arima.

Garch

Рисунок 13. ARMA^[14]

В предыдущих моделях мы считали, что слагаемое ошибки в стохастическом процессе генерации временного ряды имели одинаковую дисперсию.

В GARSH-модели(рис. 13) мы преполагаем, что слагаемое ошибки следуют ARMA процессу(саморегрессирующее скользящее среднее), соответственно слагаемое меняется по ходу времени. Это особенно полезно при моделировании финансовых временных рядов, так как диапазон изменений тоже постоянно меняется.

Обычно ARMA используется и для учёта среднего, для подробного введения в Garsh модели смотри здесь:

Динамические линейные модели

Рисунок 14. DLM^[15]

Динамические линейные модели представляют другой класс моделей предсказания временных рядов(рис. 14). Идея заключается в том, что каждый моменты времени t эти модели соответствуют линейной модели, но коэффициент регрессии постоянно меняется.
Пример динамической линейной модели ниже:
y(t) = ⍺(t) + tβ(t) + w(t)
⍺(t) = ⍺(t-1) + m(t)
β(t) = β(t-1) + r(t)
w(t)~N(0,W) , m(t)~N(0,M) , r(t)~N(0,R)

В предыдущей модели коэффициенты a(t) и b(t) следуют случайному блужданию.

Динамические линейные модели могут быть построены в рамках Байесовской системы. Тем не менее и этот метод можно улучшить, подробности читайте тут.

TBATS

Рисунок 15. DLM^[16]

TBATS — это модели, которые основаны на экспоненциальном сглаживании(рис. 15).
Главной особенностью TBATS является возможность взаимодействия с несколькими сезонностями. Моделируя каждую функцию сезонности отдельным тригонометрическим отображением построенным на рядах Фурье.

Классическим примером комплексной сезонности будет отображение ежедневных объемов продаж, которые имеет, как еженедельные колебания, так и ежегодные.

Больше информации можно прочиать тут.

Prophet

Ещё одна модель, способная взаимодействовать с несколькими сезонностями. Это ПО с открытым исходным кодом от Фейсбука (рис. 16).

Рисунок 16. Prophet^[17]

Prophet считает, что временной ряд может быть расложен следующим образом:
y(t) = g(t) + s(t) + h(t) + ε(t)
g(t) — тренд
s(t) — сезонность
h(t) — каникулы
ε(t) — ошибки

Подгонка модели представляет собой упражнение по подгонке кривой, поэтому она явно не учитывает структуру временной зависимости в данных. Это также позволяет проводить наблюдения с нерегулярным интервалом.
Есть два варианта временных рядов тренда: модель насыщающего роста и кусочно-линейная модель. Модель многопериодной сезонности основана на рядах Фурье. Эффект известных и заказных выходных дней может быть легко включен в модель.
Модель пророка вставлена в байесовскую структуру и позволяет сделать полный апостериорный вывод, чтобы включить неопределенность параметров модели в неопределенность прогноза.

NNETAR

Модель NNETAR представляет собой полностью связанную нейронную сеть. Аббревиатура расшифровывается как Neural NETwork AutoRegression.

Модель NNETAR принимает на вход последние элементы последовательности до момента времени t и выводит прогнозируемое значение в момент времени t + 1. Для выполнения многоэтапных прогнозов сеть применяется итеративно.

LSTM

Модели LSTM могут использоваться для прогнозирования временных рядов (а также других рекуррентных нейронных сетей).
LSTM — это аббревиатура от Long-Short Term Memories.
Состояние сети LSTM представлено через вектор пространства состояний. Этот метод позволяет отслеживать зависимости новых наблюдений от прошлых (даже очень далеких).
Вообще говоря, LSTM представляют собой сложные модели, и они редко используются для прогнозирования одного временного ряда, поскольку для их оценки требуется большой объем данных.
Однако они обычно используются, когда необходимы прогнозы для большого количества временных рядов(проверьте здесь).

Оценка

Рисунок 17. MAE с перекрестной проверкой для каждой модели^[18]

Мы выполнили выбор модели с помощью процедуры перекрестной проверки, описанной ранее. Мы не рассчитывали его для динамических линейных моделей и моделей LSTM из-за их высокой вычислительной стоимости и низкой производительности.
На следующем рисунке мы показываем MAE с перекрестной проверкой для каждой модели и для каждого временного горизонта(рис. 17):

Мы видим, что для временных горизонтов больше 4 модель NNETAR с сезонно скорректированными данными работает лучше, чем другие. Давайте проверим общую MAE, вычисленную путем усреднения по разным временным горизонтам.

Модель NNETAR по сезонно скорректированным данным была лучшей моделью для этого приложения, поскольку она соответствовала самому низкому значению MAE, прошедшему перекрестную проверку.
Чтобы получить объективную оценку наилучшей производительности модели, мы вычислили MAE на тестовом наборе(рис. 18), получив оценку, равную 5,24. На следующем рисунке мы можем увидеть MAE, оцененную на тестовой выборке для каждого временного горизонта.

Рисунок 18. MAE, тестовый набор^[19]

Как еще больше повысить производительность

Другие методы повышения производительности моделей:

Использование разных моделей для разных временных горизонтов
Объединение нескольких прогнозов (например, с учетом среднего прогноза)
Агрегация начальных данных

Последний метод у можно резюмировать следующим образом:

Разложите исходный временной ряд (например, используя STL)
Создайте набор похожих временных рядов путем случайного перемешивания фрагментов оставшейся компоненты.
Подбирайте модель для каждого временного ряда
Средние прогнозы каждой модели

Заключительные замечания

Большинство ранее описанных моделей позволяют легко включать изменяющиеся во времени предикторы. Они могут быть извлечены из одного и того же временного ряда или могут соответствовать внешним предикторам (например, временному ряду другого индекса). В последнем случае мы должны обратить внимание на то, чтобы не использовать информацию из будущего, которая могла бы быть удовлетворена путем прогнозирования предикторов или использования версий c ошибками.

Наконец, обратите внимание, что в этой статье мы рассмотрели только случай, когда у нас есть один временной ряд для прогнозирования. Когда у нас много временных рядов, может быть предпочтительнее глобальный подход, поскольку он позволяет нам оценивать более сложную и потенциально более точную модель. Чтобы ознакомиться с глобальным подходом, щелкните здесь.

См. Также

Источники Информации

Филатов, А. В. Заметки профайлера / А. В. Филатов. -Москва: Издательские решения, 2019. -522.
http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Временной_ряд machinelearning.ru

[1] towardsdatascience.com

[2] towardsdatascience.com

[3] towardsdatascience.com

[4] towardsdatascience.com

[5] towardsdatascience.com

[6] towardsdatascience.com

[7] towardsdatascience.com

[8] towardsdatascience.com

[9] towardsdatascience.com

[10] Википедия: Экспоненциальное сглаживание

[11] towardsdatascience.com

[12] towardsdatascience.com

[13] towardsdatascience.com

[14] towardsdatascience.com

[15] towardsdatascience.com

[16] towardsdatascience.com

[17] towardsdatascience.com

[18] towardsdatascience.com

[19] towardsdatascience.com

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]