Материал из Викиконспекты
Формула Бержа
| Лемма: |
[math](n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0[/math], где [math]G[/math] - граф с [math]n[/math] вершинами, [math]S \in {V}_{G}[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Удалим из графа [math]G[/math] множество [math]S[/math], получим [math]t[/math] компонент связности, содержащих [math]k_1, k_2 ... k_t[/math] вершин соответсвенно.
[math]|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n[/math] т. к в сумме это все вершины исходного графа [math]G[/math].
Возьмем данное равенство по модулю два: [math](|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2[/math]
В сумме [math]\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)[/math] число единиц равно числу нечетных компонент [math]odd(G \setminus S)[/math]. Таким образом, [math] \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 [/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема: |
[math]def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math] \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2[/math]
Рассмотрим несколько случаев:
1) Если [math] \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 [/math], тогда [math]\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; [/math] и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю.
2) Если [math] \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k [/math], тогда рассмотрим исходный граф [math]G[/math] и полный граф [math]K_k[/math] с [math]k[/math] вершинами, множество вершин нового графа обозначим как [math]W[/math]. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной [math]G[/math]. Получим новый граф [math]H \; = \; K_k + G[/math], докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что [math]\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) -leq |S| [/math]. Рассмотрим S \from V_H. Если в не [math]W \in S[/math], тогда посколько граф [math]K_k[/math] полный, и все его вершины связаны с каждой вершиной графа [math]G[/math], то граф [math]H[/math] связный и [math]odd(G \setminus S) = 0[/math] или [math]odd(G \setminus S) = 1[/math]. В случае [math]odd(G \setminus S) = 0[/math] условие очевидно выполняется т.к [math]\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|[/math]. В случае |
| [math]\triangleleft[/math] |
Источники информации
