Участник:Fad Oleg

Определение:

Стандартный базис — система булевых функций: [math]\{\land, \lor, \lnot \} [/math]

Для перехода к стандартному базису достаточно показать тождественные формулы для операций эквиваленции, импликации и константы [math] 0 [/math], т. к. все остальные операции являются их отрицаниями:

[math] x \leftrightarrow y = \left ( x \rightarrow y \right ) \land \left ( y \rightarrow x \right ) [/math]

[math] x \rightarrow y = \lnot x \lor y [/math]

[math] 0 = x \land \lnot x [/math]

Полнота стандартного базиса

Утверждение:

Стандартный базис является полной системой булевых функций

[math]\triangleright[/math]

Полнота этой системы легко доказывается тем, что любая булева функция может быть представлена в виде ДНФ или КНФ. А учитывая, что, по закону де Моргана: [math] x \land y = \lnot \left (\lnot x \lor \lnot y \right ) [/math] [math] x \lor y = \lnot \left (\lnot x \land \lnot y \right ) [/math] полными являются даже системы: [math] \{ \land , \lnot \} [/math] (конъюнктивный базис Буля) [math] \{ \lor , \lnot \} [/math] (дизъюнктивный базис Буля)

[math]\triangleleft[/math]

Источники

Полные системы булевых функций — Википедия

Категория: Дискретная математика и алгоритмы

Категория: Булевы функции