Нормированные пространства

Эта статья находится в разработке!

Определение и примеры

Пусть [math]X[/math] — линейное пространство над полем [math]\mathbb R[/math]. Отображение [math] \varphi \colon X \to \mathbb R[/math] называется нормой, если:

• [math]\varphi(x) \ge 0[/math], [math]\varphi(x) = 0 \iff x = 0[/math] (положительная определённость)
• [math]\varphi(\alpha x) = |\alpha| \cdot \varphi(x)[/math], [math]\alpha \in \mathbb R[/math] (однородность)
• [math]\varphi(x + y) \le \varphi(x) + \varphi(y)[/math] (неравенство треугольника)

Для нормы применяют следующее обозначение: [math]\|x\| = \varphi(x)[/math].

Приведём примеры норм для различных множеств:

• [math]X = \mathbb R[/math], [math]\|x\| = |x|[/math]
• [math]X = \mathbb R^n[/math], [math]\|\overline x\| = \sqrt{ \sum\limits_{k = 1}^n x_k^2 }[/math]. Неравенство треугольника для нормы — неравенство Коши для сумм.
• На [math]\mathbb R^n[/math] можно определить также другие нормы, например [math]\|\overline x\|_1 = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k|[/math] или [math]\|\overline x\|_2 = \max \{\,|x_1|, |x_2|, \dots, |x_k|\,\}[/math]
• [math]X = C[0; 1][/math] — функции, непрерывные на [math][0; 1][/math], [math]\|x\| = \max\limits_{t \in [0; 1]} |x(t)|[/math]
• [math]X = \widetilde{L_1}[0; 1][/math] — функции [math]f \colon [0; 1] \to \mathbb R[/math], для которых [math]\int_0^1 |f| \lt +\infty[/math] (например, [math]f(t) = \frac 1{\sqrt t} \in \widetilde{L_1}[0; 1][/math]), [math]\|f\| = \int_0^1 |f|[/math]

Нормированным пространством называют пару [math](X, \|\cdot\|)[/math] из линейного пространства и нормы на нём.

Легко проверить, что функция [math]\rho(x, y) = \|x - y\|[/math] — метрика, а, значит, нормированные пространства можно рассматривать как частный случай метрических пространств. Это значит, что на нормированные пространства легко переносятся понятия компакта, непрерывности, предела, и так далее.

Арифметика пределов

Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.

Утверждение:

Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \rightarrow x[/math], [math]y_n \rightarrow y[/math], [math]\alpha_n \rightarrow \alpha[/math]. Тогда: [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math] [math]\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x[/math] [math]\|x_n\| \rightarrow x[/math]

[math]\triangleright[/math]

Докажем первый пункт. По определению предела в метрических пространствах, [math]x_n \rightarrow x \iff \|x_n - x\| \rightarrow 0[/math]. [math]\|(x_n + y_n) - (x + y)\| = \|(x_n - x) + (y_n - y)\| \le \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \rightarrow 0[/math] по арифметике числовых пределов. Но, поскольку [math]\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \ge 0[/math] по определению нормы, то по принципу сжатой переменной [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math].

[math]\triangleleft[/math]