Материал из Викиконспекты
| НЕТ ВОЙНЕ
|
|
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
Антивоенный комитет России
|
| Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
|
| meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.
|
Определения
| Определение: |
Пусть [math]\mathcal{A}\colon X \to X[/math] - линейный оператор (ЛО)
[math]x\ne 0_x[/math] называется собственным вектором [math]\mathcal{A}[/math], если [math]x \in L[/math], где [math]L[/math] — инвариантное подпространство [math]\mathcal{A}[/math] и [math]\dim L = 1[/math] |
| Определение: |
Пусть [math]\mathcal{A}\colon X \to X[/math]
[math]x\ne 0_X[/math] называется собственным вектором [math]\mathcal{A}[/math], если существует [math]\lambda \in F \colon \mathcal{A}x = \lambda x[/math] |
| Лемма: |
Предыдущие 2 определения эквивалентны. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math] (1) \Rightarrow (2) \colon x \in L, \dim L=1 \Rightarrow \mathcal{A}x \in L \ ([/math]т. к. [math]x \ne 0_X \Rightarrow[/math] базис [math]L = \{x\}) \Rightarrow \mathcal{A}x=\lambda x[/math] (единственным образом)
[math] (1) \Leftarrow (2) \colon \exists \lambda: \mathcal{A}x = \lambda x \Rightarrow x \in[/math] одномерному подпространству [math]L[/math], где [math]L =[/math] линейная оболочка [math]\{x\}, \mathcal{A}x = \lambda x \in L[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Определение: |
| [math]\lambda[/math] в равенстве [math]\mathcal{A}x = \lambda x[/math] называется собственным числом (собственным значением) ЛО [math]\mathcal{A}[/math] |
| Определение: |
Спектром [math]\sigma[/math] ЛО называется множество всех его собственных значений
[math]\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}[/math] |
// здесь мог быть пример, но думаю всем и так понятно
Свойства
| Теорема: |
Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям образуют ЛНЗ набор |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
1) База: рассмотрим [math]\lambda \leftrightarrow x_1 \ne 0_x\ \{x_1\}[/math] - ЛНЗ набор.
2) [math]\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ {m-1} \}[/math] - ЛНЗ.
Рассмотрим [math]\{x_1, ..., x_m \} [/math]- докажем, что тоже ЛНЗ.
[math]\sum\limits_{i=1}^m \alpha^i x_i = 0 [/math]
[math]\mathcal{A}( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x[/math] (1)
[math]\lambda_m( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x[/math] (2)
(1) - (2) : [math]\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)x_{m-1} + 0_x = 0_x[/math]
По предположению индукции [math]\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\}[/math] - ЛНЗ [math]\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 [/math], при этом все [math](\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0[/math]
[math]\Rightarrow [/math] все [math]\alpha_i = 0[/math] [math]\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x[/math]
[math]\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x [/math], где [math]x_m \ne 0_x[/math] [math]\Rightarrow \alpha_m=0[/math], т.е. набор ЛНЗ. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма: |
Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора [math]\mathcal{A}[/math], образует подпространство пространства [math]X[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
1) Если [math]x[/math] — св, то и [math] \alpha x[/math] — тоже св.
2) Если [math]x,y[/math] — св, то и [math]x+y[/math] — тоже св.
Из 1 и 2 [math]\Rightarrow[/math] что лемма доказана (по определению подпространства) |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Определение: |
| [math]L = [/math] линейная оболочка [math]\{[/math] все СВ [math] x_i \leftrightarrow \lambda_i \}[/math] называют собственным подпространством [math]X \leftrightarrow[/math] СЗ [math]\lambda_i[/math] |
| Лемма: |
Пусть L - линейная оболочка [math]\{ [/math] всех [math]x_i \leftrightarrow \lambda_i\}[/math]
Пусть [math]X_{\lambda i}[/math] - собственное подпространство X [math]\leftrightarrow \lambda_i[/math]
Тогда [math]L = X_{\lambda i}[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Сначала [math]\subseteq[/math] потом [math]\supseteq[/math] [math]\Rightarrow[/math] доказательство (так в конспекте);
Вообще не понятно, зачем эта лемма, ибо она по определению. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма ((следствие из теоремы)): |
У ЛО не может быть больше [math]n[/math] СЗ, где [math]n = dimX[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
(идет как упражнение)
По теореме выше, набор собственных векторов - ЛНЗ набор. [math]\Rightarrow[/math] их не больше чем размерность пространства, а [math]dim X = n [/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Поиск СЗ и СВ
[math]x \ne 0_x[/math] и
[math]\mathcal{A}x = \lambda x \Leftrightarrow \mathcal{A}x - \lambda \mathcal{I} x = 0 \Leftrightarrow (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})X = 0 [/math]
[math]{C}= \begin{pmatrix}
({\alpha}_{1}^{1}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{2}^{1} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{1} \xi^n \\
{\alpha}_{1}^{2} \xi^1 & ({\alpha}_{2}^{2}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{2} \xi^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\alpha}_{1}^{n} \xi^1 & {\alpha}_{2}^{n} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{n}^{n}- \lambda) \xi^n \\
\end{pmatrix}[/math]
Если [math]det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow \exists [/math] тривиальное решение [math](0,0 ... ,0)^T[/math]
Если [math]det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists [/math] нетривиальное решение [math]\Rightarrow \exists[/math] СВ [math]x[/math]
[math]\mathcal{X}_A (\lambda) = 0 [/math] - характеристический полином
[math]det(A- \lambda E) = 0[/math] - уравнение на СЗ, а
[math]det(A- \lambda E)X = 0[/math] - уравнение на СВ
Из уравнения на СЗ находим [math]\{\lambda_i \}[/math] - корни характеристического полинома, они же - характеристические числа.
Затем подставляем каждую [math]\lambda_i[/math] в уравнение на СВ по очереди на находим СВ [math]x_i \leftrightarrow \lambda_i[/math].
Так найдутся все СВ.
| Теорема: |
Пусть [math] \mathcal{A} : X \to X, X[/math] над С, тогда у [math]\mathcal{A}[/math] есть хотя бы одно СЗ и один СВ. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Основная теорема алгебры гласит, что у [math]\forall[/math] полинома комплексной переменной всегда есть корень. |
| [math]\triangleleft[/math] |
