Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега
НЕТ ВОЙНЕ |
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России |
Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению. |
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки. |
Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры.
Учитывая, что
и , , имеем набор неравенств .То есть,
.Если
, то , и интеграл от постоянной — .Если
неотрицательна, то интеграл от нее тоже неотрицателен.Сигма-аддитивность
Теорема ( | -аддитивность интеграла):
Пусть существует , — измеримы и дизъюнктны. Тогда . |
Доказательство: |
1) (случай конечного объединения множеств).Ясно, что достаточно рассмотреть : . Дальнейшее доказательство делается тривиальной индукцией по числу множеств.Раз , то — измерима на и ограничена там.Значит, она будет такой же на частях и , поэтому, все интегралы существуют.В силу определения интеграла, — разбиение .
Но — разбиение . Значит, .— почти победа. Получили, что . Обратное неравенство доказываем аналогично. Случай конечной суммы рассмотрен. 2) ,Теперь разбито на конечное число дизъюнктных частей.По пункту 1,
Так как , , по -аддитивности.. Так как остаток сходящегося числового ряда стремится к нулю, .Тогда, так как Тогда, при , . , , что нам и требовалось. |
В частности, из этой теоремы уже можно перейти к следующему факту:
Утверждение: |
Пусть , . Тогда |
Действительно, — измеримо, так как и — измеримы. — счётное объединение измеримых множеств.. разбито на две дизъюнктных части, , . Тогда: . |
Если вернуться к
и , то, так как везде, кроме нульмерного множества, то .Линейность
Теперь установим так называемую линейность интеграла:
Утверждение: |
Пусть , . Тогда . |
Установим, что интеграл суммы равен сумме интегралов. То, что можно выносить множитель, доказывается аналогично. В все интегралы существуют, нужно только доказать, что равенство выполняется.. ; ; Сложим эти неравенства:
Суммируем по :. , . В силу определения интеграла от измеримой функции, .
Подставим .
Тогда крайние величины отличаются не более, чем на . Так как — произвольное, числа должны совпасть. |