PpmtnriLmax

[math]P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}[/math]

Задача:

Имеется [math]M[/math] однородных машин, работающих параллельно. Есть [math]n[/math] работ, каждое имеет своё время появления [math]r_i[/math] и время окончания [math]d_i[/math]. Работа может быть прервана и продолжена позже. Необходимо составить такое расписание, чтобы значение [math]L_{max} = \max\limits_{i=1\ldots n} (C_i - d_i)[/math] было минимальным.

Решение

Рис. 1. Cеть

Сведем эту задачу к поиску максимального потока в сети, построенной указанным ниже образом.

Пусть [math]t_1 \lt t_2 \lt \ldots \lt t_r[/math] - упорядоченная последовательность [math]r_i[/math] и [math]d_i[/math]. Определим интервалы [math]I_K = [t_K; t_{K+1}][/math] с длиной [math]T_K = t_{K+1} - t_K[/math] для всех [math]K = 1 \ldots r-1[/math].

Работам [math]J_i[/math] сопоставим свой тип вершин, а интервалам [math]I_K[/math] свой. Добавим две фиктивные вершины [math]s[/math] и [math]t[/math]. Вершина [math]s[/math] соединена с вершинами [math]J_i[/math] ребрами с пропускной способностью [math]p_i[/math], вершина [math]t[/math] соединена с вершинами [math]I_K[/math] ребрами с пропускной способностью [math]mT_K[/math]. Ребро между вершиной [math]J_i[/math] и вершиной [math]I_K[/math] существует, если [math]r_i \leqslant t_K, t_{K+1} \leqslant d_i[/math]. Пропускная способность этого ребра - [math]T_K[/math].

Нетрудно понять, что расписание существует, если максимальный поток через эту сеть равен [math]\sum\limits_{i=1}^n p_i[/math].

Если это так, то поток [math]x_{iK}[/math] на дуге [math](J_i, I_K)[/math] соответствует тому, что работа [math]J_i[/math] будет выполняться во временном интервале [math]I_K[/math], и будет справедливо следующее:

1. [math]\sum\limits_{K=1}^{r-1} x_{iK} = p_i, i = 1 \ldots n[/math]
2. [math]\sum\limits_{i=1}^n x_{iK} \leqslant mT_K, K = 1 \ldots r - 1[/math]
3. [math]x_{iK} \leqslant T_K[/math] для всех ребер [math](J_i, I_K)[/math]

Исходя из этого, расписание строится выполнением работы [math]J_{iK}[/math] с временем выполнения [math]x_{iK} \gt 0[/math] в интервале [math]I_K[/math].

Т.к. сеть содержит [math]O(n)[/math] элементов, значит максимальный поток в ней можно найти за [math]O(n^3)[/math]. Кроме того, построение "окон" выполнения работ займет [math]O(n^2)[/math]. Т.о. указанный выше алгоритм потребует [math]O(n^3)[/math] операций.

Для решения данной задачи мы используем бинпоиск по [math]L[/math] значениям, а значит, получаем алгоритм с [math]\varepsilon[/math]-приближенной сложностью [math]O (n^3(\log(n) + \log(\cfrac{1}{\varepsilon}) + \log(\max\limits_{j=1 \ldots n} (p_j))) [/math], потому как [math]L_{max}[/math], ограничен [math]n\max\limits_{j=1 \ldots n} (p_j)[/math]