Хеширование кукушки

Пример хеширования кукушки. Стрелки показывают второе возможное место элементов. Если нам надо будет вставить новый элемент на место А, то мы поместим А в его вторую ячейку, занятую В, а В переместим в его вторую ячейку, которая сейчас свободна. А вот помещение нового элемента на место Н не получится: так как Н — часть цикла, добавленный элемент будет вытеснен после прохода по циклу.

Хеширование кукушки — один из способов борьбы с коллизиями при создании хеш-таблицы.

Алгоритм

Основная идея хеширования кукушки — использование двух хеш-функций вместо одной (далее [math]h_1(x)[/math] и [math]h_2(x)[/math]). Так же есть вариант алгоритма, в котором используются две хеш-таблицы, и первая хеш-функция указывает на ячейку из первой таблицы, а вторая — из второй. Рассмотрим алгоритмы функций add(x), delete(x) и exists(x).

Add

1. Если одна из ячеек с индексами [math]h_1(x)[/math] или [math]h_2(x)[/math] свободна, кладем в нее элемент. Переходим к шагу 7.
2. Иначе произвольно выбираем одну из этих ячеек, вытаскиваем оттуда элемент, помещаем туда новый.
3. Смотрим в ячейку, на которую указывает другая хеш-функция от только что вытащенного элемента, если она свободна, помещаем его в нее. Переходим к шагу 7.
4. Иначе вытаскиваем из этой ячейки элемент, кладем туда старый. Проверяем, не зациклились ли мы.
5. Если не зациклились, переходим к шагу 3.
6. Иначе выбираем 2 новые хеш-функции и перехешируем все добавленные элементы.
7. Помечаем ячейку, в которую только что добавили элемент, как занятую.

Delete

1. Смотрим ячейки с индексами [math]h_1(x)[/math] и [math]h_2(x)[/math].
2. Если в одной из них есть искомый элемент, просто помечаем эту ячейку как свободную.

Exists

1. Смотрим ячейки с индексами [math]h_1(x)[/math] и [math]h_2(x)[/math].
2. Если в одной из них есть искомый элемент, возвращаем true.
3. Иначе возвращаем false.

Время работы алгоритма

Удаление и проверка происходят за О(1) (что является основной особенностью данного типа хеширования), добавление в среднем происходит за О(1). Первые два утверждения очевидны: требуется проверить всего лишь 2 ячейки таблицы.

Один из способов доказательства третьего утверждения использует теорию случайных графов. Это делается через неориентированный "кукушкин граф", где каждой ячейке хеш-таблицы соответствует ровно одна вершина, а каждому добавленному элементу — ребро с концами в вершинах, соответствующих ячейкам, в которые указывают хеш-функции элемента. При этом элемент будет добавлен без перехеширования тогда и только тогда, когда после добавления нового ребра граф будет оставаться псевдолесом, то есть каждая его компонента связности будет содержать не более одного цикла.

Таким образом хеширование кукушки является одним из самых быстрых способов хеширования.