Материал из Викиконспекты
1) Принцип сжатия Банаха
Пусть [math]X[/math] - B-пространство; пусть [math]\overline V[/math] — замкнутый шар в [math]X[/math]; [math]T\colon\overline V \to\overline V[/math]. Оно называется сжатием на этом шаре, если [math]\exists q \in (0;1); \forall x',x'' \in \overline V[/math], такое, что [math]\| Tx''-Tx' \| \le q \|x''-x'\|[/math]
| Теорема: |
У любого сжимающего отображения существует неподвижная точка [math]x^*=Tx^*.[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\forall x_0 \in \overline V x_{n+1}=Tx_n[/math]. Тогда [math]\|x_{n+1}-x_n\|=\|Tx_n-Tx_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\|\le q^n \|x_1-x_0[/math]
[math]x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k),\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k, 0\lt q\lt 1.[/math]
Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим [math]S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)[/math]. [math]S_n=x_{n+1}[/math]. Если [math] S_n \to S[/math], то [math]x_n \to S[/math]. Но любое сжатие непрерывно. Это позволяет в [math]x_{n+1}=Tx_n[/math] перейти к пределу — [math]S=TS[/math]. Если [math]Tx'=x', Tx''=x''[/math], то составим норму их разности: [math]\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|[/math] и при [math]\|x''-x' \ne 0[/math] [math]q \ge 1[/math] — противоречие. [math]\|x''-x' = 0[/math], следовательно, [math]\|x''-x'\|[/math]
|
| [math]\triangleleft[/math] |
