Фибоначчиева куча

Фибоначчиевы кучи - модификация биномиальных куч, в которых всех операции, где не требуется удаление элементов, имеют амортизированную стоимость [math] O(1) [/math]. Также являются сливаемыми кучами("mergeable heap"). Теоретически полезны тогда, когда операций [math] Extract\_min [/math] и [math] Delete [/math] значительно меньше, чем остальных. К сожалению, скрытые константы велики, так что на практике использование фибоначчиевых куч оказывается нецелесообразным: обычные [math] k [/math] - ичные кучи на практике эффективнее.

Фибоначчиевы деревья

Определение:

Фибоначчиево дерево - биномиальное дерево, где у каждой вершины удалено не более одного ребенка.

Лемма:

Фибоначчиево дерево ранга [math] k [/math] содержит не менее [math] F_k [/math] ([math] k [/math] число Фибоначчи) вершин

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для рангов 0 и 1 соответствующие деревья содержат 1 вершину, [math] F_0 \ge 1, F_1 \ge 1 [/math]. Рассмотрим дерево ранга [math] k [/math] Оно в худшем случае (удален ребенок ранка [math] k - 1 [/math]) содержит [math] 1 + F_1 + F_2 + ... + F_{k-2} [/math] вершин. Эта сумма, в свою очередь, равна [math] F_k [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Поскольку [math] F_k = \Omega(\varphi^k) [/math], где [math] \varphi = \frac {1 + \sqrt 5}2 [/math], то высота фибоначчиева дерева есть [math] O(logN) [/math].

Каждая вершина [math] x [/math] знает своего родителя ([math] p[x] [/math]) и какого-нибудь своего ребенка([math] child[x] [/math]).

Дети любой вершины связаны в циклический двусвязный список. Такие списки удобны по двум причинам: из такого списка можно удалить вершину, и два таких списка можно связать в один за [math] O(1) [/math]

Также в любой вершине хранятся поля [math] degree[x], \, mark[x] [/math]: степень вершины(число ее детей) и пометка о том, потеряла ли вершина [math] x [/math] ребенка после того, как она в последний раз сделалась чьим-либо потомком.

Фибоначчиевы кучи

Определение:

Фибоначчиева куча - набор фибоначчиевых деревьев.

Корни фибоначчиевых деревьев, составляющих фибоначчиеву кучу, также объединены в двусвязный циклический список(корневой список, root list). В отличие от биномиальных куч, в корневом списке может находиться несколько деревьев с одной и той же степенью корня.

Доступ к куче осуществляется с помощью указателя [math] min[H] [/math], указывающего на минимальную вершину в куче.

Доказательство времени работы для всех операций с фибоначчиевыми кучами проводим с помощью методов амортизационного анализа.

Операции

Потенциал

Введем потенциал фибоначчиевой кучи [math] \Phi(H) = t[H] + 2m[H] [/math], как количество элементов в корневом списке ([math] t[H] [/math]) прибавить удвоенное количество вершин с [math] mark[x] == true \, (m[H]) [/math]. На языке метода предоплаты это выглядит следующим образом: возле каждого корня лежит одна монета, а возле каждой вершины, у которой удалили ребенка, лежит две монеты.

Make_heap

Создается новый пустой корневой список, в [math] min[H] [/math] устанавливается значение [math] null [/math]. Реальное время работы - [math] O(1) [/math].

Merge

Слияние двух фибоначчиевых куч происходит просто: объединяем списки этих куч в один, релаксируем минимум. Реальное время работы - [math] O(1) [/math]. Амортизированное время работы - также [math] O(1) [/math], поскольку, при объединении двух куч в одну, потенциалы обеих куч суммируются, итоговая сумма потенциалов не изменяется, [math] \Phi_{n + 1} - \Phi_n = 0 [/math].

Insert

Вставка элемента в фибоначчиеву кучу также тривиальна: создается новая куча из одного элемента и сливается с текущей. Амортизированная стоимость операции: 1 (создание кучи) + 2 (слияние куч + релаксация минимума) + 1(изменение потенциала) = 4.

Extract_min

Первая рассматриваемая операция, в ходе которой меняется структура кучи. Здесь используется вспомогательная процедура Consolidate("уплотнение" кучи). Возьмем указатель на [math] min[H] [/math], удалим эту вершину. Ее поддеревья (их не более, чем [math] D[H] [/math]) все положим в корневой список. Теперь вызываем процедуру [math] Consolidate [/math].

Consolidate

Данная процедура принимает кучу, и делает из нее кучу, в корневом списке которой [math] O(D[H}) [/math] вершин.

Для этого возьмем массив списков указателей на корни деревьев [math] A[0..D[H]] [/math], где [math] D[H] [/math] - максимальная степень вершины в текущем корневом списке. Далее мы увидим, что [math] D[H] = O(logN) [/math].

Затем происходит процесс, аналогичный слиянию биномиальных куч: добавляем поочередно каждый корень, смотря на его степень. Пусть она равна [math] d [/math] Если в соответствующей ячейке A еще нету вершины, записываем текущую вершину туда. Иначе подвешиваем одно дерево к другому, и пытаемся также добавить дерево, степень корня которого уже равна [math] d + 1 [/math]. Продолжаем, пока не найдем свободную ячейку.

Учетная стоимость [math] Consolidate [/math] равна [math] O(D[H]) [/math]. Докажем это:

Пусть изначально в корневом списке было [math] r [/math] вершин. Тогда в ходе операции [math] Consolidate [/math] мы сделали [math] O(r) [/math] слияний деревьев. Но эти [math] O(r) [/math] слияний скомпенсируются уменьшением потенциала [math] t_i + \Phi_i - \Phi_{i - 1} = r + (O(D[H]) - r) = O(D[H]) [/math]. Остальных действий будет также [math] O(D[H]) [/math]. Таким образом, учетная стоимость [math] Consolidate: \, O(D[H]) [/math].

Decrease_key

Основная идея: хотим, чтобы учетная стоимость данной операции была [math] O(1) [/math].

- Хотим, чтобы вершина не всплывала до корня