Локальная теорема о неявном отображении

Принцип сжатия Банаха

Пусть [math]X[/math] — B-пространство. Пусть [math]\overline V[/math] — замкнутый шар в [math]X[/math].

Определение:

[math]\mathcal{T} : \overline V \to \overline V[/math] — сжатие на шаре [math]V[/math], если [math]\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V[/math] [math] : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|[/math]

Теорема (Банах):

У любого сжимающего отображения существует неподвижная точка [math]x^*=\mathcal{T}x^*[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\forall x_0 \in \overline V x_{n+1}=\mathcal{T}x_n[/math]. Тогда [math]\|x_{n+1}-x_n\| = \|\mathcal{T}x_n-\mathcal{T}x_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\| \leq \ldots \leq q^n \|x_1-x_0\|[/math] Рассмотрим ряд [math]x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)[/math] Выкинем первое слагаемое и замажорируем этот ряд геометрической прогрессией. [math]\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k[/math], [math]0\lt q\lt 1[/math]. Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим [math]S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)[/math]. [math]S_n=x_{n+1}[/math]. Если [math] S_n \to S[/math], то [math]x_n \to S[/math]. Но любое сжатие непрерывно. Это позволяет в [math]x_{n+1}=Tx_n[/math] перейти к пределу — [math]S=TS[/math]. Если [math]Tx'=x', Tx''=x''[/math], то составим норму их разности: [math]\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|[/math] и при [math]\|x''-x'\| \ne 0[/math] [math]q \ge 1[/math] — противоречие. [math]\|x''-x' \|= 0[/math], следовательно, [math]x''=x'[/math].

[math]\triangleleft[/math]

2

[math]\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m[/math]; [math]V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}[/math].

[math]f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m[/math], [math]f(x_0,y_0)=0^m[/math]. Существуют ли такие [math]\delta_1,\delta_2\gt 0[/math], что [math]\forall\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})~\nexists\overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m[/math]?

Если это так, то в силу единственности y определяем [math]\overline y = \phi(\overline x)[/math] на [math]V_{\delta_1}(\overline{x_0})[/math] так, чтобы [math]f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m[/math]. [math]\phi[/math] — неявное отображение, определяется как [math]f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m[/math]

Пример, единичная окружность:

[math]x,y\in\mathbb{R},f(x,y)=x^2+y^2-1.~f(x,y)=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=1[/math]

В малых окрестностях начальных данных вертикаль, проведённая через [math]x[/math], будет давать соответствующий единственный [math]y[/math]. Если решать задачу вне окрестности [math]y_0[/math], получится 2 [math]y[/math], теряется единственность [math]y[/math]. Именно поэтому крайне важно указывать окрестности, в которых мы ищем отображения. [math]y=\sqrt{1-x^2};y=\pm\sqrt{1-x^2}[/math].

Сейчас мы установим условия, при которых неявное отображение будет существовать:

[math]\overline z=f(\overline x,\overline y).~\overline x \in \mathbb R^n;~y,z\in R^m.~f_{\overline y}'[/math] — произвольное отображение [math]f[/math], при фиксированном [math]x[/math] и варьирующемся [math]y[/math].

[math]f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)[/math] (зависит и от [math]\overline x[/math], и от [math]\overline y[/math]). Непрерывность [math]f_{\overline y}'[/math]: производная — линейный оператор, поэтому непрерывность понимается в метрике линейного оператора:

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0\colon~\|\overline{\mathcal{4}x}\|,\|\overline{\mathcal{4}y}\|\lt \delta\Rightarrow\|f_{\overline y}'(\overline x + \overline{\mathcal{4}x},\overline y + \overline{\mathcal{4}y})-f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)\|\lt \varepsilon[/math]

[math]f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)[/math] — матрица, размером [math]m\times m[/math]. Оператор непрерывно обратим в [math](\overline x,\overline y)\Longleftrightarrow[/math] у этой матрицы существует обратная (её детерминант не равен нулю). {{Теорема |about= О неявном отображении |statement= Пусть для [math]f[/math] поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными [math](x_0,y_0)[/math]. Известно, что в окрестности начальных данных[math]f_{\overline y}'[/math] непрерывно зависит от [math]\overline x,\overline y[/math]; и в [math](x_0,y_0)[/math] она непрерывно обратима. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует. |proof= Доказательство разбиваем на 2 этапа (и на экзамене они тоже будут спрашиваться по отдельности):

1 этап: [math]\Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1},~f(\overline x, \overline y)=0^m[/math]

[math]\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)[/math]. Проверим равносильность: пусть [math]f(\overline x, \overline y)=0[/math]. [math]\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=\Gamma_0(0^m)=0,~\overline y = \overline y[/math] — верное в любом случае уравнение. Пусть [math]\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)[/math]. Тогда [math]\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=0^m. \Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}[/math], следовательно, [math]det \Gamma_0 \ne 0[/math], поэтому соответствующая однородная система уравнений будет иметь только тривиальные решения и [math]f(\overline x, \overline y)=0^m[/math]

[math]T(\overline x, \overline y)=\overline y-\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)[/math]

[math]\overline y =T(\overline x,\overline y)[/math]. Нам нужно решить задачу на неподвижную точку для отображения [math]T[/math] по переменной [math]\overline y[/math] для фиксированного [math]\overline x[/math]. Решать мы будем, применяя принцип сжатия Банаха. Существует ли (в определённых начальных данных) коэффициент сжатия?

[math]T'=J-\Gamma_0f_y';~\Gamma_0f_y'(\overline{x_0},\overline{y_0})=J[/math]. Значит, [math]T_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=0[/math]. По условию [math]f[/math] зависит от [math]\overline x, \overline y[/math], следовательно, [math]T'[/math] — тоже. Тем самым, в определении непрерывности полагаем [math]\varepsilon=\frac 12,\exists \delta\gt 0\colon~\|\overline{\mathcal 4 x}\|,\|\overline{\mathcal 4 y}\| \le \delta \Rightarrow \| T_{\overline y}'(\overline{x_0}+\overline{\mathcal 4{x_0}},\overline{y_0}+\overline{\mathcal 4{y_0}})\| \le \frac 12[/math]

[math]V_{\delta}(\overline{x_0}),~W_{\delta}(\overline{y_0})[/math] такие, что [math]T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \le \frac 12,~\forall \overline y',\overline y'' \in W_{\delta}(\overline{y_0}),~\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0})[/math]

По неравенству Лаг