Материал из Викиконспекты
Вопрос №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических
Определение: |
Ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n[/math] имеет сумму [math]S[/math] по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если [math]S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k[/math]. |
Вопрос №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля
Определение: |
Пусть дан ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n[/math] и [math] \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)[/math] (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму [math] S [/math] по методу Абеля, если [math] S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)[/math]. |
Вопрос №3. Теорема Фробениуса
Теорема (Фробениус): |
[math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (с.а) [math] \Rightarrow [/math] [math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (А). |
Вопрос №4. Тауберова теорема Харди
Теорема (Харди): |
[math]\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S[/math](с.а.)
Тогда, если существует такое [math] M \gt 0 [/math], что [math] \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n [/math], то [math] \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S[/math]. |
Вопрос №5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши
Определение: |
[math]f_1, f_2, \ldots[/math] равномерно сходится к [math]f(x)[/math], если
[math]\forall \varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]
Пишут, что [math]f_n \rightrightarrows f[/math]. |
Определение: |
Пусть на [math]E[/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math]. Тогда он равномерно сходится к
[math]f = \sum f_n[/math], если
[math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math] |
Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости): |
Ряд равномерно сходится на [math]E[/math] [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \lt \varepsilon[/math] |
Вопрос №6. Признак Вейерштрасса
Теорема (Вейерштрасс): |
[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math], [math]\forall n \in \mathbb{N} [/math] , [math] \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n[/math], [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n[/math] — сходится.
Тогда [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math] равномерно сходится на [math]E[/math]. |
Вопрос №7. Признак типа Абеля-Дирихле
Вопрос №8. Предельный переход под знаком функционального ряда
Теорема: |
Пусть на множестве [math]E[/math] заданы функции [math]f_n[/math], [math]a[/math] — предельная точка этого множества и
[math]\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)[/math]. Тогда если [math]\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n[/math] - равномерно
сходится на [math]E[/math], то выполняется равенство :
[math]\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)[/math] |
Вопрос №9. Условия почленного интегрирования функционального ряда
Теорема: |
Пусть [math] f_{n} [/math] интегрируема и равномерно сходится к [math] f [/math] на [math] [a; b] [/math]. Тогда [math] f [/math] тоже интегрируема, и
[math] \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f [/math]. |
Утверждение: |
Пусть функциональный ряд состоит из [math]f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ][/math] и равномерно сходится на этом отрезке.
Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться:
[math]\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx[/math] |
Вопрос №10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда
Теорема: |
Пусть на [math] (a, b) [/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n[/math], [math]\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)[/math] - сходится.
Пусть также [math]\exists f_n'[/math] - непрерывна на [math]\langle a, b \rangle[/math] и
[math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'[/math] - равномерно сходится на [math]\langle a, b\rangle[/math], тогда на [math]\langle a, b \rangle[/math] выполняется :
[math](\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)[/math]. |
Вопрос №11. Лемма Абеля
Лемма (Абель): |
Пусть для некоторого [math]x_0[/math] [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n[/math] — сходится.
Тогда [math]\forall x_1 : |x_1| \lt |x_0|[/math] ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|[/math] сходится. |
Вопрос №12. Теорема о радиусе сходимости
Определение: |
[math]R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] — сходится [math]\}[/math]. Заметим, что возможны случаи [math]R = 0[/math] и [math]R = \infty[/math]. |
Теорема: |
Пусть есть ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] и [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда
1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится.
2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно.
3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится.
4) [math]|x| = R[/math] — неопределённость. |
Вопрос №13. Вычисление радиуса сходимости
Теорема: |
Пусть есть [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда:
1) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|[/math], то [math]R = q[/math].
2) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}[/math], то [math]R = \frac1q[/math]
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: [math]R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}[/math]. Но она сложная и никому не нужна. Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно. |
Вопрос №14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов