Материал из Викиконспекты
Вопрос №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических
Определение: |
Ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n[/math] имеет сумму [math]S[/math] по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если [math]S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k[/math]. |
Вопрос №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля
Определение: |
Пусть дан ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n[/math] и [math] \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)[/math] (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму [math] S [/math] по методу Абеля, если [math] S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)[/math]. |
Вопрос №3. Теорема Фробениуса
Теорема (Фробениус): |
[math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (с.а) [math] \Rightarrow [/math] [math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (А). |
Вопрос №4. Тауберова теорема Харди
Теорема (Харди): |
[math]\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S[/math](с.а.)
Тогда, если существует такое [math] M \gt 0 [/math], что [math] \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n [/math], то [math] \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S[/math]. |
Вопрос №5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши
Определение: |
[math]f_1, f_2, \ldots[/math] равномерно сходится к [math]f(x)[/math], если
[math]\forall \varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]
Пишут, что [math]f_n \rightrightarrows f[/math]. |
Определение: |
Пусть на [math]E[/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math]. Тогда он равномерно сходится к
[math]f = \sum f_n[/math], если
[math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math] |
Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости): |
Ряд равномерно сходится на [math]E[/math] [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \lt \varepsilon[/math] |
Вопрос №6. Признак Вейерштрасса
Теорема (Вейерштрасс): |
[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math], [math]\forall n \in \mathbb{N} [/math] , [math] \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n[/math], [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n[/math] — сходится.
Тогда [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math] равномерно сходится на [math]E[/math]. |
Вопрос №7. Признак типа Абеля-Дирихле
Теорема: |
* [math]\exists M: \forall x \in E \quad \forall N \quad \left |\sum\limits_{n = 1}^N b_n(x) \right| \le M[/math]
- [math]\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad \forall n \gt N \quad \forall x \in E \quad |a_n(x)| \lt \varepsilon[/math]
Тогда ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_nb_n[/math] равномерно сходится. |
Вопрос №8. Предельный переход под знаком функционального ряда
Теорема: |
Пусть на множестве [math]E[/math] заданы функции [math]f_n[/math], [math]a[/math] — предельная точка этого множества и
[math]\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)[/math]. Тогда если [math]\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n[/math] - равномерно
сходится на [math]E[/math], то выполняется равенство :
[math]\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)[/math] |
Вопрос №9. Условия почленного интегрирования функционального ряда
Теорема: |
Пусть [math] f_{n} [/math] интегрируема и равномерно сходится к [math] f [/math] на [math] [a; b] [/math]. Тогда [math] f [/math] тоже интегрируема, и
[math] \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f [/math]. |
Утверждение: |
Пусть функциональный ряд состоит из [math]f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ][/math] и равномерно сходится на этом отрезке.
Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться:
[math]\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx[/math] |
Вопрос №10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда
Теорема: |
Пусть на [math] (a, b) [/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n[/math], [math]\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)[/math] - сходится.
Пусть также [math]\exists f_n'[/math] - непрерывна на [math]\langle a, b \rangle[/math] и
[math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'[/math] - равномерно сходится на [math]\langle a, b\rangle[/math], тогда на [math]\langle a, b \rangle[/math] выполняется :
[math](\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)[/math]. |
Вопрос №11. Лемма Абеля
Лемма (Абель): |
Пусть для некоторого [math]x_0[/math] [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n[/math] — сходится.
Тогда [math]\forall x_1 : |x_1| \lt |x_0|[/math] ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|[/math] сходится. |
Вопрос №12. Теорема о радиусе сходимости
Определение: |
[math]R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] — сходится [math]\}[/math]. Заметим, что возможны случаи [math]R = 0[/math] и [math]R = \infty[/math]. |
Теорема: |
Пусть есть ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] и [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда
1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится.
2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно.
3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится.
4) [math]|x| = R[/math] — неопределённость. |
Вопрос №13. Вычисление радиуса сходимости
Теорема: |
Пусть есть [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда:
1) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|[/math], то [math]R = q[/math].
2) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}[/math], то [math]R = \frac1q[/math]
Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: [math]R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}[/math]. Но она сложная и никому не нужна. Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно. |
Вопрос №14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинегрированных или продифференцированных рядов?"
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".
Утверждение: |
Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда |
Вопрос №15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы
Вопрос №16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
Вопрос №17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций
<wikitex>
$e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $
$ \ln(1 + x) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \frac{x^k}k + r_n(x) $, причем $ r_n(x) = \frac{\ln^{n + 1} (1 + \theta_n x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in (0; 1) $
Вопрос №18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций
$\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$
$\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
Вопрос №19. Биномиальный ряд Ньютона
$ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $
Вопрос №20. Формула Стирлинга
$ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $
</wikitex>
Вопрос №21. Нормированное пространство: арифметика предела
Утверждение: |
Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \rightarrow x[/math], [math]y_n \rightarrow y[/math], [math]\alpha_n \rightarrow \alpha[/math].
Тогда:
- [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math]
- [math]\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x[/math]
- [math]\|x_n\| \rightarrow \|x\|[/math]
|
Вопрос №22. Ряды в банаховых пространствах
Определение: |
Нормированное пространство [math](X, \|\cdot\|)[/math] называется B-пространством, если для любой последовательности элементов [math]X[/math], для которых из [math]\|x_n - x_m\| \to 0[/math] при [math]n, m \to \infty[/math] вытекает существование предела последовательности. |
[math]\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|[/math]
Вопрос №23. Унитарные пространства, неравенство Шварца
Утверждение: |
[math]|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}[/math] |
Вопрос №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем