Изменения

Пусть <tex> X </tex> - — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств(необязательно не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом''', если:1) # <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> 2) # <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> 3) # <tex> A \cup B, A, B \in \mathcal R \Rightarrow B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).

Простой пример полукольца: <tex> X = \mathbb R, \mathcal R = \{\ ,[a; b) | \mid a, b \in \mathbb R, a \le b\ ,\} </tex>.

1) # <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex> 2) # <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex> 3) # <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>

Если усилить третью аксиому, потребовав принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств, то получим структуру, называемую '''σ-алгеброй'''(сигма-алгебра). Она замкнута относительно теоретико-множественных операций с неболее не более, чем счетным числом объектов.