Изменения
Нет описания правки
|about=1
|statement=
<tex>ord(ab)=ord(a)ord(b)</tex> и , если <tex>gcd(ord(a),ord(b))=1</tex>, где <tex>ord(a)</tex> {{---}} [[порядок числа]] по модулю p.
|proof=
Рассмотрим <tex>(ab)^k \equiv 1 \pmod p</tex>. Так как группа абелева {{---}} можем записать <tex>a^{k}b^{k} \equiv 1 \pmod p</tex>. Очевидно <tex>a^{k \cdot ord(a)}b^{k \cdot ord(a)}\equiv 1 \pmod p</tex>, однако из определения порядка числа следует <tex>a^{ord(a)}\equiv 1 \pmod p</tex>, а значит <tex>a^{k \cdot ord(a)}\equiv 1 \pmod p</tex>. Отсюда делаем вывод, что <tex>b^{k \cdot ord(a)}\equiv 1 \pmod p</tex>. Значит <tex>k \cdot ord(a)\vdots ord(b)</tex>. Аналогичным образом доказывается <tex>k \cdot ord(b)\vdots ord(a)</tex>. Из этих двух фактов и из взаимной простоты <tex>ord(a)</tex> и <tex>ord(b)</tex> следует, что <tex>k\vdots ord(a)\cdot ord(b)</tex>. Значит порядок <tex>a\cdot b</tex> не может быть меньше <tex>k</tex>.
