Изменения

{{Теорема|statement==Основные операции==

#Языки, полученные путём применения теоретико-множественных операций:#*<tex>L_1 \cup L_2</tex>#*<tex>\overline{L_1}</tex>#*<tex>L_1 \cap L_2</tex>#*<tex>L_1 \setminus L_2</tex>

#<tex>\overline{L_1 }</tex>#<tex>L_1 \cap L_2</tex>#<tex>L_1 \setminus L_2</tex>

|proof===Доказательство===Как известноСвойства 1,2, 3 непосредственно следуют из определения [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]]. При доказательстве дальнейших свойств воспользуемся [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков|классы эквивалентностью регулярных и автоматных языков совпадают]]. Пусть языки <tex>L_1</tex> и <tex>L_2</tex> распознаются автоматами <br /> <tex>A_1 = \langle \Sigma , Q_1 , s_1 , T_1 , \delta_1 : Q_1 \times \Sigma \rightarrow 2^{Q_1} \rangle </tex> и <tex>A_2 = \langle \Sigma , Q_2 , s_2 , T_2 , \delta_2 : Q_2 \times \Sigma \rightarrow 2^{Q_2} \rangle </tex> соответственно.##*<texol start="4"><li>L_1 \cup L_2</texp> является регулярным по определению [[Регулярные языкиИнвертируем множество допускающих состояний: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]].#*Рассмотрим рассмотрим автомат <tex>A_1' = \langle \Sigma , Q_1 , s_1 , Q_1 \setminus T_1 , \delta_1 \rangle </tex>. Очевидно, он допускает те и только те слова, то есть которые не допускает автомат <tex>AA_1</tex>, в котором инвертировали терминальные и нетерминальные состояния. (<br/>При таком построении следует помнить, что если в исходном автомате было опущено дьявольское состояние, его нужно явно добавить и сделать допускающим.) Очевидно, он допускает те и только те слова, которые не допускает автомат <tex/p>A_1</texli> <li><p>Следует из пунктов 1 и 4, а значит, задаёт язык т.к. <tex>L_1 \cap L_2 = \overline{\overline{L_1} \cup \overline{L_2}}</tex>. Таким образом<br/> Автомат для пересечения языков можно построить явно, используя конструкцию ''произведения автоматов'': </p><p> <tex>A = \overlinelangle \Sigma , Q , s , T , \delta : Q \times \Sigma \rightarrow 2^{L_1Q}\rangle </tex> {{---}} регулярный., где <br/> #*Заметим, что <tex>L_1 Q = \lbrace \cap L_2 = langle q_1, q_2 \overline{rangle | q_1 \overline{L_1} in Q_1, q_2 \cup in Q_2 \overline{L_2}}rbrace</tex>. Тогда по уже доказанному <br/> <tex>L_1 s = \langle s_1, s_2 \cap L_2rangle</tex> {{---}} регулярный.<br/> #*<tex>L_1 T = \lbrace \cap L_2 = langle t_1, t_2 \overline{rangle | t_1 \overline{L_1} in T_1, t_2 \cup in T_2 \overline{L_2}}rbrace</tex>. Тогда по уже доказанному <br/> <tex>L_1 \cap L_2delta (\langle q_1,q_2 \rangle, c) = \langle \delta_1 (q_1, c),\delta_2 (q_2, c) \rangle</tex> {{---}} регулярный.</p></li><li><p>#*<tex>L_1 \setminus L_2 = L_1 \cap \overline{L_2}</tex>. Тогда по уже доказанному  Соответствующий автомат строится как произведение автоматов для языков <tex>L_1 \setminus L_2</tex> и <tex>\overline {{---}L_2} регулярный.#</tex>L_1^*</texp></li> является регулярным по определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]].#<texli>L_1^*</texp> также является регулярным по определению [[Регулярные языкиРазвернем все переходы назад и поменяем стартовое состояние с терминальными: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]].#Рассмотрим рассмотрим [[Автоматы_с_eps-переходами._Eps-замыкание|НКА c <tex>\varepsilon</tex>-переходами]] <tex>A_1' = \langle \Sigma, Q_1, s' , \lbrace s_1 \rbrace, \delta_1' \rangle </tex>, где <tex>\delta_1' (v,c) = \lbrace u | \delta_1(u,c) = v \rbrace </tex>; <tex>\delta_1'(s', \varepsilon) = T_1</tex>. <br/>Если в исходном автомате путь по <tex>\alpha</tex> из <tex>s_1</tex> приводил в терминальное состояние, то в новом автомате существует путь по <tex>\alpha</tex> из этого терминального состояния в <tex>s_1</tex> (и наоборот). Следовательно, этот автомат распознает в точности развернутые слова языка <tex>L_1</tex>. Тогда , и из [[Автоматы_с_eps-переходами._Eps-замыкание|эквивалентности <tex>\varepsilon</tex>-НКА и ДКА]] язык <tex>\overset{\leftarrow}{L_1}</tex> {{---}} регулярный.}}</p></li></ol>

|definition=Отображение <tex>\varphi : \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex>, сохраняющее операцию конкатенации <tex>(\varphi(\alpha\beta) = \varphi(\alpha) \varphi(\beta))</tex>, называется '''гомоморфизмом'''.

|definition='''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*</tex> называется язык <tex>\varphi (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace \varphi (x) | x \in L \rbrace</tex>.

|definition='''Прообразом языка''' <tex>L \subset \Sigma_2^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^*</tex> называется язык <tex>\varphi^{-1} (L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace x | \varphi (x) \in L \rbrace</tex>.

<tex>L \subset \Sigma_1^*</tex> {{---}} – регулярный , <tex>\varphi:\Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^* </tex> {{---}} – гомоморфизм. Тогда <tex>\varphi(L)</tex> {{---}} – регулярный.

<tex>L \subset \Sigma_2^*</tex> {{---}} – регулярный , <tex>\varphi:\Sigma_1^* \rightarrow \Sigma_2^* </tex> {{---}} – гомоморфизм. Тогда <tex>\varphi^{-1}(L)</tex> {{---}} – регулярный.