== Алгоритм ==
{{Определение|definition= '''Получение следующего объекта''' {{---}} это нахождение объекта, следующего за данным в [[Лексикографический порядок|лексикографическом порядке]].
}}
Пусть дан объект Объект <tex>PQ</tex>. Назовем объект называется следующим за <tex>QP</tex> следующим, если <tex>P < Q</tex> и не найдется такого <tex>MR</tex>, что <tex>P < M R < Q</tex>.
Отсюда понятен алгоритм:
* Находим минимальный находим суффикс в объекте минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта <tex>P</tex>, который можно увеличить, не меняя префикс* К префиксу к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило <tex>P < Q</tex>),* Дописываем дописываем минимальный возможный хвост.По построению получаем, что <tex>Q</tex> {{---}} минимально возможный.
== Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора ==
Двигаемся справа налево по элементам объекта* Находим минимальный суффикс, пока не найдем элемент в котором есть <tex>0. Заменим </tex>, его на 1можно увеличить, а все элементы справа на нули.не меняя оставшейся части* Вместо <codetex>0</tex> записываем <tex>1</tex> * Дописываем минимально возможный хвост из нулей bool next_vec'''int[]''' nextVector(vector<'''int> &[]''' a) : <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина вектора</font> int '''while''' (n >= 0) '''and''' (a.size(); int pos = [n - 1; while (pos ] != -1 && 0) a[posn] == 1) 0 n--pos; '''if (pos ''' n == -1) '''return false; ''' ''null'' a[posn] = 1; while (++pos < n) '''return''' a[pos] = 0; return true; }</code>Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border="1"|0||1||0||1||style="background:#FFCC00"|1||исходный битовый вектор
|-
| || ||^|| || ^||находим элемент 0 (самый правый)начинаем идти с конца
|-
| 0|| 1||0||1style="background:#FFCC00"|0|1|style="background:#FFCC00"|10||меняем его пока элементы равны 1, заменяем их на 10
|-
|0| |1| |style="background:#FFCC00"|1||0||0||меняем элементы правее первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на нули1
|-
|'''0'''||'''1'''||'''1'''||'''0'''||'''0'''||следующий битовый вектор
|}
== Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки ==
Двигаемся * Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее* Перевернем правую часть '''int[]''' nextPermutation('''int[]''' a): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина перестановки</font> '''for''' i = n - 2 '''downto''' 0 '''if''' a[i] < a[i + 1] min = i + 1; '''for''' j = i + 1 '''to''' n - 1 '''if''' (a[j] < a[min]) '''and''' (a[j] > a[i]) min = j swap(a[i], a[min]) reverse(a, i + 1, n - 1) '''return''' a '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||3||style="background:#FFCC00"|2||5||style="background:#FFCC00"|4||исходная перестановка|-| || ||^|| || ||находим элемент, нарушающий убывающую последовательность|-| || || || ||^||минимальный элемент больше нашего|-|1||3||style="background:#FFCC00"|4||5||style="background:#FFCC00"|2||меняем их местами|-|1||3||4||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|5||разворачивам правую часть|-|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''2'''||'''5'''||следующая перестановка|} == Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки ==* Двигаясь справа налево по элементам объекта, пока не найдем находим элемент, нарушающий убывающую последовательность(в обычном порядке, слева направо, см. Обменяем пример).* Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее. Далее перевернем * Переворачиваем правую часть. '''int[]''' nextMultiperm('''int[]''' b): <font color=green>// <tex>n</tex> {{---}} длина мультиперестановки</font> i = n - 2 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i] >= b[i + 1]) i-- '''if''' i >= 0 j = i + 1 '''while''' (j < n - 1) '''and''' (b[j + 1] > b[i]) j++ swap(b[i] , b[j]) reverse(b, i + 1, n - 1) '''return''' b '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|3||Исходная перестановка.|-| || || || ||^|| ||Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.|-| || || || || ||^||Минимальный элемент больше нашего.|-|1||2||3||1||style="background:#FFCC00"|3||style="background:#FFCC00"|2||Меняем их местами.|-|'''1'''||'''2'''||'''3'''||'''1'''||'''3'''||'''2'''||Следующая мультиперестановка.|} == Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания == * Добавим в конец массива с сочетанием <tex>N+1</tex> – максимальный элемент.* Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на <tex>2</tex> и больше.* Увеличим найденный элемент на <tex>1</tex>, и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание. '''int[]''' nextChoose('''int[]''' a, '''int''' n, '''int''' k): <font color=green>// <tex>n,k </tex> {{---}} параметры сочетания</font> '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 b[i] = a[i] b[k] = n + 1 i = k - 1 '''while''' (i >= 0) '''and''' (b[i + 1] - b[i] < 2) i-- '''if''' i >= 0 b[i]++ '''for''' j = i + 1 '''to''' k - 1 b[j] = b[j - 1] + 1 '''for''' i = 0 '''to''' k - 1 a[i] = b[i] '''return''' a '''else''' '''return''' ''null'' === Пример работы ==={| class="wikitable" border = 1|1||2||5||6||style="background:#FFCC00"|'''7'''||Дописываем 7 в конец сочетания.|-|1||style="background:#FFCC00"|2||5||6||'''7'''|||-| ||^|| || || ||Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2|-|1||style="background:#FFCC00"|3||5||6||'''7'''||Увеличиваем его на 1.|-|1||3||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|'''6'''||Дописываем минимальный хвост.|-|'''1'''||'''3'''||'''4'''||'''5'''||''' '''||Следующее сочетание.|} == Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые ==Рассматриваемый алгоритм находит следующее [[комбинаторные объекты|разбиение на слагаемые]], при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.* Увеличим предпоследнее слагаемое на <tex>1</tex>, уменьшим последнее слагаемое на <tex>1</tex>.** Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.** Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое <tex>s</tex> на два слагаемых <tex>a</tex> и <tex>b</tex> таких, что <tex>a</tex> равно предпоследнему слагаемому, а <tex>b = s - a</tex>. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.
<code>
bool next_permutation<font color=green>// <tex>b</tex> {{---}} список, содержащий разбиение данного числа <tex>b.size</tex>{{---}} его размер </font> '''list<int>''' nextPartition(vector'''list<int> &a''' b) {: int n = a b[b.size();- 1]-- int pos = n b[b.size - 2;]++ while (pos != '''if''' b[b.size -1 && a[pos2] > ab[pos + b.size - 1]) b[b.size -2] += b[b.size -pos;1] if b.remove(pos == b.size -1) return false; '''else''' int k = n - 1; '''while (a''' b[posb.size - 2] > a* 2 <= b[kb.size - 1]) --k; swap b.add(ab[posb.size - 1], a- b[kb.size - 2]); int l = pos + 1, r = n b[b.size - 1; while (l < r) swap(a[l++2], a= b[r-b.size -3]); '''return true; }''' b
</code>
=== Пример работы ===
{| class="wikitable" border="1"|1||3style="background:#FFCC00"|1|2|style="background:#FFCC00"|7||5||4||исходная перестановкаПрибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
|-
| 1|| style="background:#FFCC00"|2|^|style="background:#FFCC00"| 6|| ||находим элемент||Проверяем: 2 < 6, нарушающий убывающую последовательностьзначит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4|-|1||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|4|| |||-|1||2||2||style="background:#FFCC00"|2||style="background:#FFCC00"|2||
|-
| '''1'''|| '''2'''|| '''2'''|| '''2'''||^'''2'''||минимальный элемент больше нашегоСледующее разбиение на слагаемые числа 9.|} {| class="wikitable" border = 1|1||style="background:#FFCC00"|4||style="background:#FFCC00"|5||Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
|-
| 1|| style="background:#FFCC00"|5||style="background:#FFCC00"|4||Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5||2||меняем их местами+ 4.
|-
| 1|| 9|| style="background:#FFCC00"|4|2||5||разворачивам правую частьУдалим последний элемент.
|-
|'''1'''||3'''9'''||4||2||5||следующая перестановкаСледующее разбиение на слагаемые числа 10.
|}
== Ссылки См.также ==* [[Получение предыдущего объекта]]* [[Получение объекта по номеру]]* [[Получение номера по объекту]] == Источники информации == * [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/combinations/permutations-2000 Визуализатор перестановок]* [http://cppalgo.blogspot.com/2011/02/episode-2.html Пример компактного кода для перестановок (С++)]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
