Изменения
Нет описания правки
Сопоставим ей линейный оператор <tex> I : R^m \rightarrow R^n </tex>
{{Определение
|definition =
'''0-цепь''' — линейная комбинация <tex>\Sigma a_{i}v_{i}</tex> где <tex>a_{i} \in F_2, v_{i} \in V</tex>, где <tex> V</tex> — множество вершин графа.}}{{Определение|definition ='''1-цепь''' — линейная комбинация <tex>\Sigma a_{i}e_{i}</tex> где <tex>a_{i} \in F_2, e_{i} \in E</tex>, где <tex>E</tex> — множество ребер Циклическое пространство графа.}}{{Определение|definition ='''Граничный оператор <tex>\delta</tex>''' — линейный оператор, сопоставляющий 1-цепи 0-цепь таким образом, что если <tex>e C = Ker(u, vI)</tex>, то <tex>\delta e = u + v</tex>. Сложение производится по модулю два. Результат действия граничного оператора на 1-цепь называется границей 1-цепи. Таким образом, границей 1-цепи является сумма вершин инцидентных нечетному числу ребер из 1-цепи.}}{{Определение|definition = '''Циклический вектор''' — 1-цепь с границей 0.
}}
{{Определение
|definition =
'''Циклическое пространство Обобщенный цикл графаG''' — пространство, образованное множеством всех циклических векторов над полем <tex>F_2 = \{0, 1\}</tex>.}} == Эквивалентность определений =={{Теорема|statement = Определения 1 и 2 эквивалентны.|proof = <tex>1 \Rightarrow 2</tex>Рассмотрим множество <tex> Z </tex> реберно непересекающихся циклов. 1-цепь <tex>\sigma</tex>, состоящая из всех ребер из <tex>Z</tex>, имеет границу 0, так как для любого ребра <tex>e_{i} = (u_{i}, v_{i})\in Z \ u_{i}, v_{i}</tex> встречаются в <tex>\delta\sigma </tex> четное число раз. <tex>2 \Rightarrow 1</tex> Рассмотрим 1-цепь элемент линейного пространства <tex>\sigmaC </tex>. Из того, что граница <tex>\sigma</tex> равна 0 следует, что для любого <tex>e = (u, v) \in \sigma </tex> <tex>u</tex> и <tex>v</tex> встречаются в <tex>\delta \sigma </tex> четное число раз. Значит, <tex>\sigma</tex> можно разбить на дизъюнктные подмножества <tex>E_1,..., E_{i},</tex> такие что путь, состоящий из <tex>u_1, e_1, v_1,...,u_{k}, e_{k}, v_{k}</tex>, где <tex>e_{k} =(u_{k}, v_{k}) \in E_{i}</tex>, является циклом. Так как каждое ребро графа встречается не более одного раза, то эти циклы будут реберно непересекающимися.}} == Свойства =={{Теорема|statement =Циклическое пространство графа линейно.|proof =В циклическом пространстве графа задано сложение по модулю два.Нейтральным элементом относительно сложения является пустой граф.Любой элемент циклического пространства сам себе противоположен.Отсюда выполнение восьми условий линейности очевидно.
}}
== Литература ==
Харари Ф. Теория графов / пер. с англ. — изд. 4-е — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — с.54. — ISBN 978-5-397-00622-4.
