Изменения

'''Плавающая точка (floating point)''' - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени, а значение числа вычисляется по формуле:<br><tex> x = (-1)^{sign} \times mant \times base^{exp} </tex>, где <tex> x </tex> - число, <tex> sign </tex> - бит, отвечающий за знак числа, <tex> mant </tex> - мантисса, <tex> base </tex> - основание степени, <tex> exp </tex> - показатель степени.

<br><tex> x = (-1)^{sign} \times (1.mant) \times 2^{exp} </tex>}} == Нормальная и нормализованная формы =={{Определение|definition='''Нормальной''' называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа находится на полуинтервале <tex> [0,1) </tex>.}}Недостатком такой записи является тот факт, что числа нельзя записать однозначно: <tex> 0.001 = 0.01 \times 10^0 </tex>.{{Определение|definition='''Нормализованной''' называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа лежит на полуинтервале <tex> [1, 10) </tex>, а двоичного на полуинтервале <tex> [1, 2) </tex>.

# В следствие Вследствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).

== Особые значение значения чисел с плавающей точкой ==

'''Машинная эпсилон''' - наименьшее наибольшее положительное число <tex> \varepsilon_m </tex>, такое что, <tex> 1 \oplus \varepsilon_m = 1 </tex>, где <tex> \oplus </tex> - машинное сложение.

=== Постановка задачи Определения ===Найти {{Утверждение|statement=Пусть <tex> D </tex> - множество всех чисел с плавающей точкой с операциями <tex> \oplus, \ominus, \otimes. \forall a, b \in D: </tex>* <tex> a \oplus b = (a + b) (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>,* <tex> a \ominus b = (a - b) (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>,* <tex> a \varepsilonotimes b = ab (1 + \delta), |\delta| \leq \varepsilon_m </tex>.}} {{Утверждение|statement=<tex> \forall a, b, c\in D^2, \tilde{v} = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) = </tex><tex> \exists \tilde{\epsilon} \varepsilonin D: |</tex># <tex> \tilde{v} > \tilde{\epsilon} \Rightarrow (b - a) \times (c - a)| > 0 </tex># <tex> \varepsilon tilde{v} < -\tilde{\epsilon} \Rightarrow (b - a, ) \times (c - a) < 0 </tex>}} === Расчет <tex> \tilde{\epsilon} </tex> ===Обозначим <tex> v = (b, - a) \times (c - a) = (b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x)</tex> не лежат на одной прямой. Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике. <tex>\tilde{v} = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) = \\ = [ (b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) - \\ - (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) ] (1 + \delta_7),</tex> <tex> |\delta_i| \leq \varepsilon_m </tex> Заметим, что <tex> v \approx \tilde{v} </tex>

Теперь оценим абсолютную погрешность <tex> \epsilon === Решение ===|v - \tilde{v}|. </tex>  Рассмотрим формулу: <tex> |v - \tilde{v}| = |(b_x - a_x) (c_y - a_y) - (b_y - a_y) (c_x - a_x) - \\- (b_x - a_x)(c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) + \\+ (b_y - a_y)(c_x - a_x) </tex>. <br>(1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7)| = \\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7)) - \\Относительная погрешность <tex> - (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \deltadelta_6) (1 + \delta_7))|\leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 - (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7))|+ \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))| = \delta\= |(b_x - a_x) (|c_y - a_y)|\cdot |((1 + \delta_1) (1 + \delta_2) = (1 + \deltadelta_3) (1 + \delta_7) - 1)|+ \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |((1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7) - 1)| = \delta\= |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot |\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 + \delta_7 + \delta_1 \delta_2 \ldots| + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)| \cdot |\delta_4 + \delta_5 + \delta_6 + \delta_7 + \delta_4 \delta_5 \ldots| \leq \\\leq |(b_x - a_x) (c_y - a_y)| \cdot (|\delta_1| + |\delta_2| + |\delta_3|+ |\delta_7| + |\delta_1 \delta_2| \ldots) = + \varepsilon_m </tex>, где <tex> \varepsilon_m </tex> + |(b_y - a_y) (c_x - машинная эпсилон. <br>a_x)| \cdot (|\delta_4| + |\delta_5| + |\delta_6| + |\delta_7| + |\delta_4 \delta_5| \ldots) \leq \\Тогда относительная погрешность <tex> \deltaleq |(|b_x - a_x) (c_y - a_y)|\cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) + \\+ |c_y (b_y - a_y) (c_x - a_x)|\cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) = \delta\= (|b_y (b_x - a_x) (c_y - a_y)|+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|) = (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m ^3 + \varepsilon_m^4)</tex> Пусть <tex> t = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|). <br/tex>Получаем, чтоТаким образом, абсолютная погрешность предиката: <tex> \epsilon = |v - \tilde{v}| \leq t \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4). <br/tex> <tex> \varepsilon tilde {t} = (|(b_x - a_x) (c_y - a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3)|+ \\+ |c_y (b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6)| ) (1 + \delta_7) \deltageq \\\geq |(|b_x - a_x||) (c_y - a_y) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) + \\+ |(b_y - a_y) (c_x - a_x) (1 - \varepsilon_m)^3)|(1 - \varepsilon_m) = \\= |c_x (b_x - a_x) (c_y - a_y)| (1 - \deltavarepsilon_m)^4 + |(|b_y - a_y||) (c_x - a_x)|(1 - \varepsilon_m) ^4 = </tex><br><tex dpi\\="180"> = 2 \varepsilon_m (|(b_x - a_x||) (c_y - a_y)| + |(b_y - a_y) (c_x - a_x)|) (1 - \varepsilon_m)^4 = t \cdot (1 - \varepsilon_m)^4</tex>  Итого: <tex> t \leq \tilde{t} \frac{1}{(1 - \varepsilon_m)^4} = \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) </tex> <tex> \epsilon = |c_x v - a_x\tilde{v}|\leq \tilde{\epsilon} \leq \tilde{t} (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) </tex> === Ответ ===<tex dpi="180"> \tilde{\epsilon} < 8 \varepsilon_m \tilde{t} </tex> Заметим, что это довольно грубая оценка. Вполне можно было бы написать <tex> \tilde{\epsilon} < 4.25 \varepsilon_m \tilde{t} </tex>или <tex> \tilde{\epsilon} < 4.5 \varepsilon_m \tilde{t}.</tex>