1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Примеры мер:
* <tex> \mathcal R = 2^X, m(\varnothing) = 0, m(A) = +\infty </tex>;(патологический)* <tex> X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_k </tex> - сходящийся положительный ряд, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>, для <tex> A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\} </tex> полагаем <tex> m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k </tex>;* Для полукольца ячеек примером меры является <tex> m(A) = b - a </tex>, где <tex> A = [a; b) </tex> - длина ячейки; . То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.
Выведем 2 важных свойства меры на полукольце:
Пусть <tex> m </tex> — мера на полукольце <tex> \mathcal R </tex>, тогда:
1) Для <tex> A \in \mathbb mathcal R </tex> и дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R, \bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex> \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
2) Для <tex> A \in \mathbb mathcal R </tex> и дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R, A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
|proof=
По сигма-аддитивности меры, <tex> m(A) = \sum\limits_{n = 1}^{N} A_n + \sum\limits_{p} D_p </tex>.
Так как второе слагаемое неотрицательно, то <tex> m(A) \ge \sum\limits_{n = 1}^{N} A_n </tex>. Устремляя <tex> n N </tex> к бесконечности, получаем требуемое.
2)
