Изменения
Нет описания правки
<tex>(X, \mathcal{R}, \mu) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex>
==Теорема Каратеодори==
{{Теорема
}}
==Некоторые свойства полученной меры==
Установим некоторые свойства полученной меры
{{Определение
|definition=Полученная мера <tex>\mu</tex> {{---}} стандартное распространение по Каратеодори меры <tex>m</tex> с полукольца на <tex>\sigma</tex>-алгебру.
}}
{{Определение
|definition=Если <tex>A\in \mathcal{A}</tex>, то <tex>A</tex> {{---}} <tex>\mu</tex>-измеримо.
}}
===Полнота===
{{Утверждение
|statement=Подмножество нульмерного множества само измеримо и нульмерно
|proof=
Пусть <tex>A\subset\mathcal{A}</tex>, <tex>\mu A = 0</tex>, <tex>B\subset A</tex>, <tex>E\subset X</tex>
Проверим, что <tex>\mu^*E\geq \mu^*(E\cap B) - \mu^*(E\cap\bar B)</tex>
<tex>E\cap B \in \mathcal{A}</tex>
Тогда, по монотонности внешней меры, <tex>\mu^*(E\cap B) \leq \mu^*A \leq \mu A = 0</tex>
<tex>E \cap\bar B \subset E</tex>, <tex>\mu^*(E\cap\bar B) \leq \mu^*E</tex>
Значит, неравенство выполняется. Значит, <tex>B\subset A</tex>
По монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu A</tex>. <tex>\mu A = 0 \Rightarrow \mu B = 0</tex>.
}}
Это свойство называется полнотой.
Можно считать, что распространение <tex>m</tex> с <tex>\mathcal{R}</tex> на <tex>\sigma</tex>-алгебру приводит к полной мере.
===Непрерывность(???)===
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>Е \subset X</tex>, <tex>A\subset E\subset B</tex>, <tex>A, B</tex> {{---}} <tex>m</tex>-измеримы, <tex>\mu(B\setminus A) = 0<tex>. Тогда <tex>E \in \mathcal{A}</tex>
|proof=В силу написанного выше ясно, что <tex>E\setminus A\subset B\setminus A</tex>. Последнее множество нульмерно. Значит, по полноте меры, <tex>E\setminus A = 0</tex>, <tex>E\in \mathcal{A}</tex>(<tex>E = A \cup (E\setminus A</tex>)
}}
====Следствие====
{{Утверждение
|about=Критерий <tex>\mu</tex>-измеримости
|statement=Пусть <tex>E\subset X</tex>. Тогда <tex>E</tex>-измеримо <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon>0 \exists (A_\varepsilon, B_\varepsilon), A_\varepsilon, B_\varepsilon\in\mathcal{A} : A_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon : \mu(A_\varepsilon\setminus B_\varepsilon) < \varepsilon</tex>
|proof=Возьмём <tex>\varepsilon_n = \frac1n</tex>, <tex>A_n = A_{\varepsilon_n}</tex>, <tex>B = B_{\varepsilon_n}</tex>
<tex>A = \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} A_n</tex>, <tex>B = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} B_n</tex>
Приходим опять к измеримым множествам, ибо <tex>\sigma</tex>-алгебра.
Так как <tex>A_n \subset E \subset B_n</tex>, то <tex>A \subset E \subset B</tex>.
<tex>\forall n : B\setminus A \subset B_n\setminus A_n</tex>
Тогда, по монотонности меры, <tex>\mu(B\setminus A)\leq \mu(B_n\setminus A_n) < \frac1n</tex>.
<tex>n \to \infty \Rightarrow \mu(B\setminus A) = 0</tex>
Мы нашли пару измеримых множеств, между которыми вставлено <tex>E</tex>. <tex>\mu(B\setminus A) = 0</tex>. Значит, по предыдущим фактам, верно.
Обратное верно, так как можно взять <tex>A=B=E</tex>
}}
To be continued...
