Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Условная вероятность

3145 байт добавлено, 23:55, 2 декабря 2011
Временно так
== Определение ==Пусть задано [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] <tex>(\Omega, P)</tex>.{{Определение|id = def1|definition ='''Условная вероятностьУсловной вероятностью''' — вероятность одного события A при условии, что другое произошло событие уже произошлоB, называется число<tex>{P}(A \mid B) = </tex> <tex dpi = "140">\frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B)}</tex>, где <tex dpi = "140">A, B \subset \Omega</tex>.}}== Замечания ==
* Если <tex dpi ="140">{P}(B) = Определение 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо.* Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:: <tex dpi ="140">{P}(A\cap B) ={P}(A \mid B) {P}(B)</tex>.* Условная вероятность является вероятностью, то есть функция <tex>{Q_B}</tex>, заданная формулой: <tex dpi = "140">{Q_B}(A) = {P}(A \mid B ) </tex>,удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры: 1) <tex dpi = "140">{Q_B}(\oslash)= 0</tex> 2) <tex dpi = "140">{Q_B}(\Omega) = 1</tex> 3) <tex dpi = "140">\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) \geq 0</tex> 4) Если события <tex dpi = "140">A_1, A_2, ... A_n</tex> не пересекаются, то <tex dpi = "140">{Q_B}(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... + {Q_B}(A_n)</tex> Доказательства (будут под спойлерами): 1) <tex dpi = "140">{Q_B}(\oslash) = \frac{P(\oslash \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\oslash)}{P(B)} = 0</tex>
Вероятность события <tex> A </tex>, вычисленная при условии, что имело место событие <tex> B </tex>, называется условной вероятностью события <tex> A </tex>.: 2) <texdpi = "140">{pQ_B}(\Omega) = \sum_{\omega \in \Omega}\frac{P(A \mid omega \cap B) }{P(B)} = </tex> <tex dpi = "170">\sum_{\omega \in B}\frac{P(\omega \cap B)}{P(B)} + \sum_{p\omega \in \Omega \setminus B}\frac{P(A\omega \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} + \frac{pP(\oslash)}{P(B)}= 1</tex>.
3) <tex dpi ="140">\forall A \subset \Omega \enskip {Q_B}(A) = Замечания \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \geq 0</tex>, т. к. <tex dpi ="140">P(A \cap B) \geq 0</tex> и <tex dpi ="140">P(B) \geq 0</tex>
* Прямо из определения очевидно следует4) Пусть события <tex dpi = "140">A_1, A_2, что вероятность произведения двух событий равна:... A_n</tex> не пересекаются. Тогда: <texdpi = "140">{pQ_B}(AA_1 \cup A_2 \cup ... \cap Bcup A_n) = \frac{p}P((A A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) \mid cap B) }{pP(B)}= \frac{P((A_1 \cap B)</tex>.* Если <tex>{p}\cup (A_2 \cap B) = 0</tex>, то изложенное определение условной вероятности неприменимо\cup ...* Условная вероятность является вероятностью, то есть функция <tex>{Q}</tex>, заданная формулой: <tex>{Q}\cup (AA_n \cap B)) = }{p}P(A \mid B ) } = </tex>,удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.
<tex dpi = "140"> = \frac{P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + ... + P(A_n \cap B))}{P(B)} = {Q_B}(A_1) + {Q_B}(A_2) + ... + {Q_B}(A_n)</tex>
== Пример ==
Если Пусть имеется 12 шариков, из которых 5 {{---}} чёрные, а 7 {{---}} белые. Пронумеруем чёрные шарики числами от 1 до 5, а белые {{---}} от 6 до 12. Случайным образом из мешка достаётся шарик. Требуется посчитать вероятность того, что шарик чёрный, если известно, что он имеет чётный номер. Обозначим за <tex>A,B</tex> — несовместимые события, то есть событие "достали чёрный шар" и за <tex>A \cap B = \varnothing</tex> и событие "достали шар с чётным номером". Тогда <tex>{p}P(AB)>0,= \; frac{1}{p2}(B)>0</tex>, то: т. к. ровно половина шариков имеют чётный номер, а <tex>{p}P(A \mid cap B) = 0\frac{2}{12} = \frac{1}{6}</tex>, т. к. только два шарика из двенадцати являются чёрными и имеют чётным номер одновременно.и: Тогда по определению вероятность случайно вытащенного шарика с чётным номером оказаться чёрным равна <texdpi = "140">{pP}(A \mid B ) = \mid frac{{P}(A\cap B)}{{P}(B) } = 0\frac{1}{3}</tex> ==См.также== * [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]]* [[Формула полной вероятности]]* [[Формула Байеса]]
== Источники ==
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность http://ru.wikipedia.org/wiki/Условная_вероятность]
*''Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.'' Алгебра и начала математического анализа, стр. 284.
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]
Gromak
170
правок
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/13833»

Навигация