Изменения
→Алгоритм
#Удалим <tex>u</tex> из <tex>G</tex>. Докажем, что <tex>\nexists</tex> пути из <tex>v</tex> в любого предка вершины <tex>u</tex>. Пусть это не так. Тогда <tex>\exists x \in T</tex> - предок <tex>u</tex> : <tex>\exists</tex> путь из <tex>v</tex> в <tex>x</tex> в <tex>G \backslash u</tex>. Пусть <tex>w</tex> - предпоследняя вершина на этом пути, <tex>w</tex> - потомок <tex>v</tex>. <tex>(w, x)</tex> - не ребро дерева <tex>T</tex>(в силу единственности пути в дереве) <tex>\Rightarrow (w, x)</tex> - обратное ребро, что противоречит условию.
#Пусть у <tex>root</tex> хотя бы два сына. Тогда при удалении <tex>root \, \nexists</tex> не существует пути между его поддеревьями, так как не существует перекрестных ребер <tex>\Rightarrow root</tex> - точка сочленения.
<tex>\Rightarrow</tex>
#Докажем что из отрицания второго утверждения следует отрицание первого. Обозначим через <tex>G'</tex> граф, состоящий из вершин, не являющихся потомками <tex>u</tex>. Удалим вершину <tex>u</tex>. Очевидно, что граф <tex>G'</tex> и все поддеревья вершины <tex>u</tex> останутся связными, кроме того из каждого поддерева есть ребро в <tex>G' \Rightarrow G \backslash u</tex> - связный <tex>\Rightarrow u</tex> - не точка сочленения.
Тогда из вершины <tex>u</tex> или её потомка есть обратное ребро в её предка <tex>\Leftrightarrow \exists</tex> такой сын <tex>v</tex>, что <tex>up[v] < tin[u]</tex>.
Таким образом, если для текущей вершины <tex>v \ne root \, \exists</tex> существует непосредственный сын <tex>v</tex>: <tex>up[v] \ge tin[u]</tex>, то вершина <tex>u</tex> является точкой сочленения, в противном случае она точкой сочленения не является.
= Реализация =
