Изменения
Нет описания правки
* Компактной записи информации о последовательности;
* Нахождения зависимости <tex>a_n(n)</tex> для последовательности <tex>a_n</tex>, заданной рекуррентным соотношением. Например, для чисел Фибоначчи;
* Нахождения рекуррентного соотношения для последовательности {{---}} вид производящей функции может помочь найти формулу;
* Исследования асимптотического поведения последовательности;
* Доказательства тождеств с последовательностями;
* <tex>\prod_{n=1}^\infty frac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} количество разбиений числа i на слагаемые.
* <tex>\prod_{n=1}^\infty (1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} количество разбиений на различные слагаемые.
* <tex>\prod_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} количество разбиений на нечётные слагаемые. С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n=l_n</tex>:
<tex>\prod_{n=1}^\infty (1+x^{n})=\prod_{n=1}^\infty frac{1-x^{2n}}{1-x^n}=frac{1-x^2}{1-x}frac{1-x^4}{1-x^2}frac{1-x^6}{1-x^3}...=frac{1}{1-x}frac{1}{1-x^3}frac{1}{1-x^5}=\prod_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})</tex>
== Решение рекуррентных соотношений ==
