Изменения
→Примеры производящих функций
* <tex>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа n в четное и нечетное число различных слагаемых. Например коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} +1, потому-что существует два разбиение на четное число различных слагаемых (4+1; 3+2) и одно на нечетное (5). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять (второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять (первое {{---}} 1). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы.
* <tex>\prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1-x^n}</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>p_n</tex>, где <tex>p_i</tex> {{---}} количество разбиений числа i на слагаемые.
* <tex>\prod_{n=1}^\infty (1+x^n)</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>d_n</tex>, где <tex>d_i</tex> {{---}} количество разбиений на различные слагаемые.
* <tex>\prod_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})</tex> {{---}} производящая функция для последовательности <tex>l_n</tex>, где <tex>l_i</tex> {{---}} количество разбиений на нечётные слагаемые. С помощью метода производящих функций можно доказать, что производящие функции последовательностей равны, соответственно <tex>d_n=l_n</tex>:
<tex>\prod_{n=1}^\infty (1+x^{n})=\prod_{n=1}^\infty \frac{1-x^{2n}}{1-x^n}=\frac{1-x^2}{1-x}\frac{1-x^4}{1-x^2}\frac{1-x^6}{1-x^3}...=\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^3}\frac{1}{1-x^5}...=\prod_{n=1}^\infty (1+x^{2n-1})</tex>
== Решение рекуррентных соотношений ==
