90
правок
Изменения
м
<math>Вставьте сюда формулу</math>=== Перебор всех вариантов ===
Отмена правки 14452 участника GosuGDR (обсуждение)
== Решение задачи ==
Сначала, давайте определимся, что мы хотим узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если мы перемножаем только две матрицы, то мы можем осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, мы можем найти минимальную стоимость используя следующий рекурсивный алгоритм:
Например, если у нас есть четыре матрицы ''ABCD'', то мы посчитаем для (''A'')(''BCD''), (''AB'')(''CD''), и (''ABC'')(''D''), делая рекурсивные вызовы на отрезках ''ABC'', ''AB'', ''CD'', и ''BCD'', чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них мы выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, каким дается нам минимальная стоимость.
Однако, если мы применим этот алгоритм, то мы обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех скобочных последовательностей! Что пошло не так? Ответом на этот вопрос является то факт, что мы делаем значительное количество ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, мы делали рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета ''ABC'' и ''AB''. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета ''ABC'' так же требует нахождения лучшей стоимости для ''AB''. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется ''n''–ому [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0 числу Каталана], да плюс вычисление для каждой правильной скобочной последовательности ''затрат'' на перемножение (то есть <tex>O(n * C_n)</tex>).
=== Оптимизации динамическим программированием ===
