Изменения
Нет описания правки
Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию <tex> f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} </tex> для <tex> n > 3 </tex>. Обозначим аргументы <tex> x_4, x_5 \dots x_n </tex> за <tex> \lnot bar x </tex>, то есть <tex> f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) </tex>. Тогда введем три функции от <tex>n - 1</tex> аргумента:
: <tex> f_1(x_1, x_2, \bar x) = f(x_1, x_2, x_2, \bar x) </tex>
: <tex> f_2(x_2, x_3, \bar x) = f(x_3, x_2, x_3, \bar x) </tex>
Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения <tex>f</tex>, и <tex>f</tex> можно выразить одной из функций <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>, так как два из трех аргументов точно совпадут. Теперь выразим <tex>f</tex> через <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>:
: <tex> f(x_1 \dots x_n) = <f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x)> </tex>
#Все три аргумента равны {{---}} ''':''' <tex> x_1 = x_2 = x_3 </tex>, тогда, очевидно, что равенство выполняется.#Равны два аргумента {{---}} ''':''' <tex> x_1 = x_2 \ne x_3 </tex> (случаи <tex> x_1 = x_3 \ne x_2 </tex> и <tex> x_2 = x_3 \ne x_3 </tex> доказываются аналогично). Тогда''':'''
::<tex> f = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex> f_1 = f(x_1, x_1, x_1, \bar x)</tex>, <tex>f_2 = f(x_3, x_1, x_3, \bar x)</tex>, <tex>f_3 = f(x_1, x_1, x_3, \bar x)</tex>.Рассмотрим два случая''':'''
:::*<tex> x_1 = x_2 = 0, x_3 = 1.</tex> <br>Тогда можно упорядочить <tex> f_1, f_2, f_3 </tex> по возрастанию наборов их переменных (используя свойство их монотонности)''':'''<br><tex> f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) </tex>. Так как <tex> f(0, 0, 1, \bar x) </tex> - между остальными, то оно и будет медианой <tex> f_1, f_2, f_3 </tex>.
