1632
правки
Изменения
м
<wikitex>{{Определение|definition ='''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{---}} перестановка местами двух соседних элементов.}} '''Коды Грея для перестановок''' (англ. ''Gray code for permutation'') {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.== Построение кода Грея для перестановок ==
'''Элементарная транспозиция''' <tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k---}} транспозиция двух соседних элементов.1}\}</tex>
== Примеры кодов Грея для перестановок ==Элемент <tex>k</tex> записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:
== Построение кода Грея для перестановок ==Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список.
Будем строить код Грея Таким образом получаем для длины $n каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k$!</tex> перестановок. ПредположимВсе они различны, что нам известен код так как для любых двух перестановок из нового кода Грея для элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $<tex>k - 1$</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кодаТак же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Она имеет следующий вид: $\{a_1Итого, a_2мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, a_3, \dots, a_{k-1}\}$причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.
Сначала запишем $k$ в начало этой перестановки== Примеры кодов Грея для перестановок =='''Перестановки для n = 2'''{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).1\} </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, 2\} </tex>|}
* $'''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов){| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Номер!style="background-color:#EEE"| Перестановка!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{k3, a_12}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку* $|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_12, \underline{k3, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>* $|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_1, a_2, \underline{k2, a_31}, 3\dots, a_{k}</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| |-|style="background-1}\}$color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>* $|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_1, a_2, a_31, \underline{k2, 3}\dots}, a_{k</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец |-|style="background-1}\}$color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>* $|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k1, a_{k-1}3}, 2\}$</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex>* $|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{a_13, a_2, a_31, 2\dots, a_{k} </tex>|style="background-1}, k\color:#FFF;padding:2px 30px"| |}$
Получим $k$ различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку из == Псевдокод получения кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо см. (1), (2), то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):=
$\{a_2, a_1, a_3Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\dots, a_{k-1}\}$</tex>.
Элемент $a_ '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''if''' n == 1 '''return''' [{1}] <font color=darkgreen> //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen> '''else''' '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen> //пустой список</font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen> //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen> '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen> //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen> '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen> //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen> '''if''' backward '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen> //дописываем {kn}$ записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:perm</font color=darkgreen> result.append(current)<font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = n '''downto''' 2 swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''else''' '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen> //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n - 1 swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen> //переставляем n</font color=darkgreen> result.append(current) <font color=darkgreen> //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen> backward = '''not''' backward <font color=darkgreen> //меняем состояние backward</font color=darkgreen> '''return''' result <font color=darkgreen> //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>
* $\{a_2, a_1, a_3, \dots, \underline{a_{k== Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-1}, k}\}$ (4)* $\{a_2, a_1, a_3, \underline{\dots, k}, a_{k-1}\}$* $\{a_2, a_1, \underline{a_3, k}, \dots, a_{k-1}\}$* $\{a_2, \underline{a_1, k}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$* $\{\underline{a_2, k}, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$* $\{k, a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$Троттера ==
Опять получили $k$ различных перестановок=== Идея ===Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, отличающихся в одной транспозицииесли по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Далее берем третью строку из кода Грея Например, для перестановок длиной $n <tex> p = k - \{1$, записываем в ее начало элемент $a_3, 2, 4, 5\},\;d = \{k\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}$ </tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и двигаем его вправо<tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, как для первой перестановки и ткоторый стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего.дИзначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>.
Для каждой перестановки длиной $=== Пример работы алгоритма для n = k - 3 ===*<tex> p = \{1$ (всего их $(k - , 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k, \textbf{3}, 2\}\;\;\cdot(k - ;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{3, 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $a_\textbf{k2}\}$ стоит на разных позициях\;\;\;d = \{\leftarrow,а если $a_\leftarrow, \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{\textbf{k3}$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n 2, 1\}\;\;\;d = k - 1$ (см. (3)\{\to, (4)). Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению\leftarrow, от разных перестановок \leftarrow\}</tex>*<tex> p = \{2, \textbf{---3}, 1\} имеют $a_\;\;\;d = \{k}$ на одной и той же позиции\leftarrow, но отличаются в одной транспозиции\to, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n \leftarrow\}</tex>*<tex> p = k - \{2, 1$, см (3)\}\;\;\;d = \{\leftarrow, (4)). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$\leftarrow, отличающихся в одной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.\to\}</tex>
Рассмотрим код Грея для длины $n = 2$:== Доказательство корректности ===Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.
Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (подчёркнуты пары переставляемых элементов):
* $\{\underline{3, 2}, 1\}$ {{---}} берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
* $\{2, \underline{3, 1}\}$ {{---}} двигаем до последней позиции
* $\{\underline{2, 1}, 3\}$
* $\{1, \underline{2, 3}\}$ {{---}} берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
* $\{\underline{1, 3}, 2\}$ {{---}} двигаем в начало
* $\{3, 1, 2\}$
Код Грея получен{{Лемма|id=lemma1 |statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.}}
Пусть ===Асимптотика===Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам известен код Грея для длины $нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n </tex> - 1$подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, записанный в массив prev_perm[i]блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(jn), где $i$ </tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - номер перестановки, $j$ 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - номер элемента этой перестановки 1)! = O(номерация начинается с единицыn!)</tex>.
t := true; {булевская переменная отвечающая за порядок перебора true: от начала к концу false: от конца к началу}==Сравнение с рекурсивным алгоритмом=== for i := 1 to Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n - 1</tex> элемента)! do {перебираем все перестановки из предыдущего кода Грея} begin insert(perm[i], t); {в зависимости от t вставляем элемент либо в началоа только текущую. Следовательно, либо в конец перестановки} writelnэтот алгоритм потребляет только <tex>O(perm[i]n); {выводим первую перестановку} for j := 1 to n </tex> памяти. Также, из- 1 do begin swap(perm[i], t); {в зависимости от t двигаем элемент влево или вправо} writeln(perm[i]); {выводим полученные перестановки} end; end;за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.
* [[Коды Грея]]
rollbackEdits.php mass rollback
Будем строить код Грея для длины <tex>n == Определения ==k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>
Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов). * <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{Определениеk-1}\}</tex>|definition=* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>'''Коды Грея для перестановок''' * <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex>* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\} упорядочение </tex> Получим <tex>k</tex> различных перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только отличающихся одной элементарной транспозицией.Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <brtex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:
* <tex>\{| border="1" cellpadding="3" | $n = 2$ || $b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, 2k}\}$ || $</tex>* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{2\dots, k}, b_{k-1}\}$ |-</tex> | $n = 3$ || $* <tex>\{1b_1, 2b_2, 3\underline{b_3, k}$ || $, \dots, b_{k-1, 3, 2}\}$ || $</tex>* <tex>\{3b_1, 1\underline{b_2, 2\k}$ || $, b_3, \dots, b_{3, 2, k-1}\}$ || $</tex>* <tex>\{\underline{2b_2, k}, 3b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}$ || $</tex>* <tex>\{2k, 1b_1, b_2, b_3, 3\dots, b_{k-1}$ |\}</tex>
== Пример применения алгоритма =Псевдокод ===<code> <font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen> '''list<list<int>>''' gray_code(n): '''list<int>''' perm = {1, ... , n} '''list<char>''' dir = {←, ... , ←} '''list<list<int>>''' result '''while''' ''true'' result.append(perm); <font color=darkgreen> //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen> '''int''' id = -1; <font color=darkgreen> //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id])) id = i '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen> //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen> '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' (perm[i] > perm[id]) reverse(dir[i]) <font color=darkgreen> //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> swap(id) <font color=darkgreen> //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen> '''return''' result </code>
Будем использовать обозначения:*<tex>\overset{2, 1\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}}перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.
{1{Утверждение|id=approval1|statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, 2когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>.}}
Теперь докажем основную лемму.{{Лемма|id=lemma2|statement= Псевдокод получения следующего кода Грея Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n =1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.Корректность алгоритма доказана. }}
===Интересный факт===
Существует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.
Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</tex> числу Фибоначчи.
Этот факт был открыт студентом нашего университета.
== Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам ==
Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $<tex>f$ </tex> и $<tex>g$</tex>, соединены ребром, если $<tex>g$ </tex> образуется из $<tex>f$ </tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.
== См. также ==
* [[Комбинаторные объекты]]
* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]] == Литература Источники информации ==* Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург , 2003 . - стр. 39-41- ISBN 5-94157-330-8* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]]