304
правки
Изменения
Нет описания правки
Пусть дана перестановка <tex>\sigma</tex> порядка <tex>n</tex>:
: <tex>\begin{pmatrix}
1 && 2&& \ldots && n\\\sigma(1)&& \sigma(2) && \ldots && \sigma(n)
\end{pmatrix}</tex>
Перестановка:
: <tex>\pi = \begin{pmatrix}
1 && 2 && 3\\1 && 3 && 2
\end{pmatrix}</tex>
Соответствующая матрица:
: <tex>P = \begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 \\0 && 0 && 1 \\0 && 1 && 0 \\
\end{pmatrix}</tex>
Благодаря последним свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре:
пусть задана матрица перестановки <tex>P = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}</tex>, которая соответствует перестановке <tex>\pi = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 1 && 3 && 2 \end{pmatrix}</tex>, и матрица <tex>A = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix}</tex>,
тогда перемножив получим:
* <tex>PA = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 7 && 8 && 9 \\ 4 && 5 && 6 \\ \end{pmatrix}</tex>,
видно, что вторая и третья строки поменялись местами;
* <tex>AP = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 \\ 4 && 5 && 6 \\ 7 && 8 && 9 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 && 3 && 2 \\ 4 && 6 && 5 \\ 7 && 9 && 8 \\ \end{pmatrix}</tex>,
видно, что второй и третий столбец поменялись местами.
