1632
правки
Изменения
м
Очевидно, сигмаCигма-алгебры являются частным случаем обычных алгебр, которые, в свою очередь, являются частным случаем полуколец.: <tex> A \subset B, B \setminus A = B \cap \overline A \in \mathcal{A} </tex>
rollbackEdits.php mass rollback
[[Математический_анализ_2_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]
== Полукольцо ==
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in \mathcal R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing </tex> для <tex> i \ne j </tex> (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).
}}
Пусть теперь утверждение выполнялось для <tex> n - 1 </tex> множества. Тогда получаем:
<tex> B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n} A_j = ( B \setminus \bigcup\limits_{j = 1}^{n-1} A_j\ ) \setminus A_n = (\bigcup\limits_{k} D_k) \setminus A_n = \bigcup\limits_{k}(D_k \setminus A_n) = \bigcup\limits_{k}(\bigcup\limits_{j} D_{k_jk,j}) = \bigcup\limits_{l} D_l </tex>
Очевидно, множества из получившегося объединения дизъюнктны, как и требуется, поэтому утверждение выполняется для любого <tex> n </tex>.
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex> B_1, B_2, \ldots, B_n , \ldots \in \mathcal R </tex>. Тогда <tex> \bigcup\limits_{n} B_n = \bigcup\limits_{k} D_k, D_k \in \mathcal R, D_k</tex> дизъюнктны.
|proof=
<tex> \bigcup\limits_{n} B_n = B_1 \cup (B_2 \setminus B_1) \cup (B_3 \setminus ( B_1\cup B_2 )) \cup \ldots \cup (B_n B_{n+1} \setminus B_1(\bigcup\limits_{k=1}^n B_k)) \cup \ldots </tex>
По доказанному выше утверждению, это объединение можно записать как:
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> - — некоторое множество, <tex> \mathcal A </tex> - — совокупность его подмножеств. <tex> \mathcal A </tex> - — '''алгебра''', если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A </tex>
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения счетного числа множеств: <tex> B_1, B_2, ... \in \mathcal A \Rightarrow \bigcap\limits_{\infty} B_n \in \mathcal A </tex>
}}
Из данных аксиом следует, что <tex> X = \overline \varnothing \in \mathcal A </tex> и <tex> B \cup C = \overline {\overline B \cap \overline C} \in \mathcal A </tex>, поэтому алгебра замкнута относительно любых конечных теоретико-множественных операций.
'''σ'''-алгебра замкнута относительно теоретико-множественных операций с не более, чем счетным числом объектов.
[[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8BМатематический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Мера на полукольце множеств|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
