1679
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_1} fd\mu + \int\limits_{E_2}fd\mu</tex>, <tex>\mu E_1 = 0 \Rightarrow \int\limits_{E_1} fd\mu = \int\limits_{E_1} gd\mu = 0 </tex>
Тогда, : <tex>\int\limits_E fd\mu = \int\limits_{E_2} fd\mu = \int\limits_{E_1}gd\mu [=0] + \int\limits_{E_2}fd\mu = \\\int\limits_{E_1}gd\mu + \int\limits_{E_2}gd\mu [\forall x \in E_2 : f(x) = g(x)] = \\ \int\limits_E gd\mu</tex>
}}
<tex>m_j(f) + m_j(g) \leq m_j(f + g) \leq M_j(f + g) \leq M_j(f) + \leq M_j(g)</tex>
Суммируем по <tex>i</tex>
<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \underline{s}(f+g) \leq \int\limits_Ef+g \leq \overline{s}(f+g) \leq \overline{s}f + \overline{s}g</tex>
<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \int\limits_Ef+\int\limits_Eg</tex>, <tex>\int\limits_E(f+g)\leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)</tex>
<tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \tau_1 : \overline{s}(\tau_1, f) - \underline{s}(\tau_1, f) < \varepsilon</tex>
<tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \tau_2 : \overline{s}(\tau_2, g) - \underline{s}(\tau_2, g) < \varepsilon</tex>
<tex>\exists\tau_3 : \tau_3 < \tau_2 , \tau_3 < le \tau_1, \tau_2 </tex>
Подставим <tex>\tau_3</tex>.
<tex>\overline{s}(f, \tau_3) - \underline{s}(f, \tau_3) < \varepsilon</tex>
<tex>\overline{s}(g, \tau_3) - \underline{s}(g, \tau_3) < \varepsilon</tex>
Тогда крайние величины отличаются не более, чем на <tex>2\varepsilon</tex>. Так как <tex>\varepsilon</tex> {{---}} произвольное, числа должны совпасть.
}}
