Изменения
→Абсолютная непрерывность
[[Неотрицательные суммируемые функции|<<]] [[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|>>]]
Пусть f измерима на множестве E.
Напомним:
<tex> \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^+ - \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n^-</tex>
Интеграл распространяется так же:
<tex> f_+(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) > 0 \\ 0, & f(x) \le 0 \end{cases} </tex>
<tex> f_-(x) = \begin{cases} 0, & f(x) \ge > 0 \\ -f(x), & f(x) \le 0 \end{cases} </tex> Из измеримости следует, что f_+ и f_- также измеримы. Также они неотрицательны. f = f_+ - f_- |f| = f_+ + f_- \int\limits_E f_+, \iny\limits_E f_- — определены в пределах f.
Из измеримости <tex> f суммируема на E</tex> следует, если на нём суммируемы что <tex> f_+ </tex> и <tex> f_-</tex> тоже будут измеримы. Также, они неотрицательны.
<tex> \int\limits_E f_{+-} , \int\le |f|. limits_E f_{+-} — суммируема, так как суммируем модуль </tex> уже были определены нами ранее.
Так как <tex> f_{+-} \int\limits_E определен линейной формулойle |f| </tex>, то переносятся \sigma-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для из суммируемости модуля вытекает суммируемость <tex> f_+, </tex> и <tex> f_- и сложить</tex>.
Так как <tex> \int\limits_E </tex> определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также <tex> \sigma </tex>-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно рассмотреть неотрицательные функцииих написать для <tex> f_+, f_- </tex> и сложить.
== Абсолютная непрерывность =={{Теорема|about=Абсолютная непрерывность|statement=Пусть <tex> f </tex> — суммируема и неотрицательнана <tex> E </tex>. Тогда <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0: \mu A < \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_E limits_A f \right| < \varepsilon </tex>|proof=< + tex> \left| \int\inftylimits_A f \right| \le \int\limits_A |f| </tex>, то есть, достаточно рассмотреть неотрицательные функции.
По определению, для любого <tex> \varepsilon </tex> существует хорошее <tex> e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \overline{e_{\varepsilon}} = E \ setminus {e_{\varepsilon}}</tex>, и по сигма-аддитивности, <tex> \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} </tex>.
<tex> \int\limits_E = \int\limits_{mu e_{\varepsilon}} < + \int\limits_{\overline{infty </tex> (так как <tex> e_{\varepsilon}}}</tex> — хорошее).
<tex> \forall B \subset E, \mu B < \infty </tex>;
<tex> B = B \cap E = B \ cap ({e_{\varepsilon}} \cup \overlinee_{\varepsilon}) = (B \cap {e_{\varepsilon}} ) \ cup (B \cap \overline e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2</tex>.
<tex> \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le \int\limits_{B_1} M_\varepsilon d \mu + \int\limits_{TODO|t=ТУТ КАКОЙ-ТО ТРЕШ В КОНСПЕКТАХ}\overline e_\varepsilon}f \le M_\varepsilon \mu B_1 + \varepsilon \le M_\varepsilon \mu B + \varepsilon</tex>
Итак <tex> \forall B \subset E, \mu B < + \infty</tex>:<tex> \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon </tex>. Потребуем, чтобы <tex> M_{\varepsilon} \mu B < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \mu B < \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta </tex>. Тогда получается, что для таких <tex> B: \int\limits_B f < 2 \varepsilon </tex>, если <tex> \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} </tex>. Подставляем <tex> \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon </tex>.}}