1679
правок
Изменения
доделал полностью, но надо исправить треш
<tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>
Примечание: должен был возникнуть вопрос — почему <tex> p \ge 1</tex>?
<tex> \int\limits_E |f|^p d \mu < + \infty </tex> при <tex> 0 < p < 1</tex>.
Тогда не будет работать неравенство Минковского.
<tex> L_p(E) </tex> — все равно линейное множество. Надо определить предельный переход не с помощью нормы.(как — третий курс)
<tex> f_n \to f \stackerl[stackrel{def]}{\Leftrightarrow} \int\limits_E |f_n - f|^p d \mu \to 0</tex>
<tex> L_p(E) </tex> тогда будет ТВП({{TODO|t=чё??}}), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальный линейный функционалтривиальной линейной функции2.
Полнота нормированного пространства:
<tex> f_n \in L_p(E) </tex>
<tex> ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n</tex>.
Обратное всегда верно:
<tex> ||f_n - f_m||_p \le ||f_n - f||_p + ||f_m - f||_p</tex> <tex> f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 </tex> — сходимость в себе.
<tex> \int\limits_a^b f(x) dx </tex> — Риман
<tex> \int\limits_{[a, b]} f d \lambda </tex> — Лебег.
<tex> \tildatilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f|^p dx < + \infty \}</tex>
Нормированное пространство, но оно не будет полным.
<tex> f_n \in \tildatilde{L_p}, \int\limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0</tex>
Может не найтись интеграла по Риману функции, которая будет пределом <tex> f_n</tex>. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу.
{{Теорема
о полноте
|statement=
<tex> \forall L_p(E) </tex> — полное.
|proof=
<tex> \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu \to 0 </tex> по условию теоремы.
<tex> E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) </tex> — часть <tex> E.</tex>, поэтому <tex> \int\limits_{E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p </tex>
<tex> \intdelta^p \limits_{mu E_{n,m}(\delta)} |f_n - f_m|^p \le \int\limits_E |f_n - f_m|^p\to 0, \delta </tex> — фиксирована.
Фиксируем <tex> \forall \varepsilon m > 0 \exists N: \forall </tex> и будем вместо n,m подставлять < tex> n_k > N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \varepsilon^p/tex>.
По теореме Фату: <tex> \int\limits_E |f - f_m|^p \le \sup\limits_{k: n_k > N} \int\limits_E |f_{n_k}(x) - f_m(x) |^p < \to f(x) - f_m(x) varepsilon^p </tex>
Примечание: на этапе выделения <tex> f_{n_k} \to f = </tex> — измеримая(f - f_mWUT?) + f_m и по линейности f \in L_p(E). Тогда неравенство можно переписать: ||f_m - может получиться, что <tex> f||_p < \varepsilon \forall m /tex> N. Тогда — не интегрируема по определению f = \lim\limits_{m \to \infty} f_m, полнота доказанаРиману.