689
правок
Изменения
бета-версия
Если веса всех ребер графа, инцидентных какой-либо вершине, изменить на одно и то же число, то в новом графе оптимальное паросочетание будет состоять из тех же ребер, что и в старом.
|proof=
Полное паросочетание для каждой вершины содержит ровно одно ребро, инцидентное этой вершине. Отсюда все следуетПри изменении весов всех ребер, инцидентных ей, на одно и то же число, выбранное ребро останется оптимальным.
}}
Далее будем рассматривать только графы с неотрицательной весовой функцией, так как, согласно этой лемме, задачу о назначениях на остальных графах можно свести к этимзадаче о назначениях на них.
{{Лемма
|statement=
Выделим в множествах <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> подмножества <tex>X', Y'</tex>. Если прибавить ко всем весам ребер, инцидентных вершинам из <tex>X</tex>, прибавить, а потом от всех весов ребер, инцидентных вершинам из <tex>Y</tex>, отнять <tex>d = \min\{c(x, y)|x \in X', y \in Y\backslash Y'\}</tex>, то:
# веса всех ребер графа останутся неотрицательными;
# Веса ребер вида <tex>xy</tex>, где <tex>x \in X', y \in Y'</tex> или <tex>x \in X \backslash X', y \in Y \backslash Y'</tex>, не изменятся.
|proof=
}}
{{Лемма
|statement=
Если веса всех ребер графа неотрицательны и некоторое полное паросочетание состоит из ребер нулевого веса, то оно является оптимальным.
|proof=
Действительно, паросочетание с какими-то другими весами ребер имеет больший вес и оптимальным не является.
# Вычитаем из каждого столбца значение его минимального элемента. Теперь в каждом столбце есть хотя бы один нулевой элемент.
# Ищем в текущем графе полное паросочетание из ребер нулевого веса:
### Если оно найдено, то желаемый результат достигнут, алгоритм закончен.
## В противном случае, покроем нули матрицы весов минимальным количеством строк и столбцов (это не что иное, как нахождение минимального контролирующего множества в двудольном графе). Теперь применим преобразование из леммы 2, взяв в качестве <tex> X' </tex> и <tex> Y' </tex> вершины левой и правой долей минимального контролирующего множества. Очевидно, после его выполнения в матрице весов появится новый нуль. После этого перейдем к шагу 1.
== Анализ времени работы ==
Поиск максимального паросочетания или минимального контролирующего множества в двудольном графе совершается за <tex> O(n^2) </tex> операций. При каждом повторении шагов 1-3 в матрице весов появляется новый нуль, который увеличивает размер максимального паросочетания хотя бы на 1, поэтому всего будет совершено <tex> O(n) </tex> итераций внешнего цикла. Поэтому суммарная асимптотика работы данного алгоритма - <tex> O(n^3) </tex> и баста!.
== Ссылки ==
* [http://acm.mipt.ru/twiki/bin/view/Algorithms/HungarianAlgorithmCPP?sortcol=5&table=2&up=0 Статья, которая может помочьРеализация венгерского алгоритма на C++]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Венгерский_алгоритм w:Венгерский алготитм]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/hungarian-2002 Визуализатор алгоритма]
== Литература ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика"2010, 2001, 288 368 стр.
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
